(Maio-2003) Seja A B C D um retângulo de lados A B=4 e B C=3. A perpendicular à diagonal B D traçada por A corta B D no ponto H. Chamamos de M o ponto médio de B H e de N o ponto médio de C D. Calcule a medida do segmento M N.

Passo 1

O enunciado descreve um retângulo ABCD com AB=4 e BC=3. A perpendicular a BD que parte de A corta a diagonal BD em H. Em seguida definimos M como ponto médio de BH e N como ponto médio de CD. O que se pede é a distância MN. Para resolver, vamos usar geometria analítica: colocamos o retângulo num sistema de coordenadas, achamos H por projeção ortogonal, depois obtemos M e N como pontos médios e, por fim, calculamos o comprimento do vetor \overrightarrow{MN}.

Passo 2

Escolhemos
A=(0,0),\quad B=(4,0),\quad C=(4,3),\quad D=(0,3).
A reta BD passa por B e D, sua forma geral é
3x+4y-12=0,
pois substituindo B e D satisfaz a equação. A projeção ortogonal de A=(0,0) sobre essa reta dá o pé H. Usando a fórmula
x_H = x_0 - a\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2},\quad y_H = y_0 - b\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2},
com a=3, b=4, c=-12 e (x_0,y_0)=(0,0), temos
ax_0+by_0+c = -12,\quad a^2+b^2=25,
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x_H = 0 - 3\frac{-12}{25} = \frac{36}{25},\quad y_H = 0 - 4\frac{-12}{25} = \frac{48}{25}.
Portanto
H = \Bigl(\tfrac{36}{25},\,\tfrac{48}{25}\Bigr).

Passo 3

O ponto médio M de B=(4,0) e H=(36/25,48/25) é
M = \Bigl(\frac{4 + \tfrac{36}{25}}{2},\,\frac{0 + \tfrac{48}{25}}{2}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{68}{25},\,\tfrac{24}{25}\Bigr).

Passo 4

O ponto médio N de C=(4,3) e D=(0,3) é
N = \Bigl(\frac{4+0}{2},\,\frac{3+3}{2}\Bigr) = (2,3).

Passo 5

O vetor \overrightarrow{MN} tem componentes
\Bigl(2 - \tfrac{68}{25},\;3 - \tfrac{24}{25}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{18}{25},\;-\tfrac{51}{25}\Bigr).
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MN = \sqrt{\Bigl(\tfrac{18}{25}\Bigr)^2 + \Bigl(-\tfrac{51}{25}\Bigr)^2} = \sqrt{\frac{324 + 2601}{625}} = \sqrt{\frac{2925}{625}} = \frac{\sqrt{117}}{5} = \frac{3\sqrt{13}}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{3\sqrt{13}}{5}

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