(Rússia-64) O quadrilátero A B C D está circunscrito sobre um círculo com centro O . Prove que a soma dos ângulos \angle \mathrm{AOB} e \angle \mathrm{COD} é igual a 180^{\circ}.

Passo 1

O enunciado trata de um quadrilátero ABCD que possui uma incírculo de centro O (isto é, uma circunferência que toca, respeitando tangência, cada lado de ABCD). Queremos mostrar que
\angle AOB + \angle COD = 180^\circ.
O conteúdo usado será:
  1. Num quadrilátero tangencial (com incírculo) o centro do círculo é equidistante de cada lado e, portanto, está sobre as bissetrizes internas dos ângulos em A,B,C,D.
  2. Em cada triângulo, a soma dos ângulos internos é 180^\circ.

Passo 2

Como o círculo de centro O é tangente a AB e a AD, o ponto O tem a mesma distância a essas duas retas. Logo O está sobre a bissetriz interna de \angle A. Analogamente, O está na bissetriz interna de \angle B, de \angle C e de \angle D.
Isto implica que
\overrightarrow{OA} divide \angle DAB ao meio,
\overrightarrow{OB} divide \angle ABC ao meio,
\overrightarrow{OC} divide \angle BCD ao meio,
\overrightarrow{OD} divide \angle CDA ao meio.

Passo 3

Considere o triângulo AOB. Nele, os ângulos em A e em B valem, respectivamente, metade dos ângulos do quadrilátero em A e em B. Ou seja,
\angle OAB = \tfrac12\angle A
e
\angle OBA = \tfrac12\angle B.
Pela soma dos ângulos de um triângulo,
\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ \quad\Longrightarrow\quad \tfrac12\angle A + \tfrac12\angle B + \angle AOB = 180^\circ,
de onde
\angle AOB = 180^\circ - \tfrac12(\angle A + \angle B).

Passo 4

De modo análogo, no triângulo COD temos
\angle COD = 180^\circ - \tfrac12(\angle C + \angle D).

Passo 5

Somando as duas expressões encontradas:
\angle AOB + \angle COD = \bigl[180^\circ - \tfrac12(\angle A + \angle B)\bigr] + \bigl[180^\circ - \tfrac12(\angle C + \angle D)\bigr].
Mas em qualquer quadrilátero ABCD vale
\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ,
então
\angle AOB + \angle COD = 360^\circ - \tfrac12\,(360^\circ) = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ.

Resposta

\angle AOB + \angle COD = 180^\circ.

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