(Indiana University-96) Uma circunferência de raio r é tangente aos lados A B, A D e C D de um retângulo ABCD a passa pelo ponto médio da diagonal AC . A área do retângulo é:
a) 3 \pi r^{2}
b) 12 r
c) 2 r+r^{2}
d) 8 r^{2}

Passo 1

O enunciado diz que uma circunferência de raio r é tangente aos lados AB, AD e CD de um retângulo ABCD e ainda passa pelo ponto médio da diagonal AC. Vamos usar geometria analítica: colocar o retângulo em coordenadas, determinar o centro pela condição de tangência a retas e impor que o ponto médio de AC esteja sobre a circunferência.

Passo 2

Escolhemos
A=(0,0),\quad B=(a,0),\quad D=(0,b),\quad C=(a,b).
As retas dos lados são
AB:\;y=0,\quad AD:\;x=0,\quad CD:\;y=b.
Se o centro da circunferência for (h,k), a distância a cada reta deve ser r.

Passo 3

Tangentes dão as equações
\text{a } x=0:\; h=r,\quad \text{a } y=0:\; k=r,\quad \text{a } y=b:\; b-k=r.
Das duas primeiras vem (h,k)=(r,r). Da última obtemos
b-r=r\;\Longrightarrow\; b=2r.

Passo 4

O ponto médio de AC é
M=\bigl(\tfrac a2,\tfrac b2\bigr)=\bigl(\tfrac a2,r\bigr).
Como M está na circunferência de centro (r,r) e raio r, vale
\sqrt{\bigl(\tfrac a2-r\bigr)^2+(r-r)^2}=r \;\Longrightarrow\; \bigl|\tfrac a2-r\bigr|=r.
Descartando a=0, fica \tfrac a2-r=r, isto é
a=4r.

Passo 5

Logo o retângulo tem lados a=4r e b=2r. Sua área é
\text{Área}=a\cdot b = (4r)\,(2r)=8r^2.Á

Resposta

d) 8r^2

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