(Vunesp-SP) As soluções da equação z^3=i, onde z é um número complexo e i^2=-1, são:
a) z= pm raiz22+12 i ou z=-i
b) z= pm raiz32-12 i ou z=-i
c) z= pm raiz32+12 i ou z=-i
d) z= pm raiz22-12 i ou z=-i

Passo 1

O enunciado pede as raízes da equação ,z^3=i. O conteúdo é encontrar raízes de um número complexo usando sua forma polar e a fórmula de De Moivre/Euler.

Passo 2

Escrevemos i em forma polar. Como lvert irvert=1 e arg(i)=tfracpi2+2pi n, temos
i = e^,il(tfracpi2+2pi nr)

Passo 3

Qualquer raiz cúbica de i é dada por
zk = exp!l(i,tfracpi2+2pi k3r), k=0,1,2

Passo 4

Calculamos para cada k:
Para k=0:
tfracpi2+2picdot03 = pi6, z0 = cos!l(tfracpi6r)+isin!l(tfracpi6r) = raiz32 + 12i
Para k=1:
tfracpi2+2picdot13 = 5pi6, z1 = cos!l(tfrac5pi6r)+isin!l(tfrac5pi6r) = -raiz32 + 12i
Para k=2:
tfracpi2+2picdot23 = 3pi2, z2 = cos!l(tfrac3pi2r)+isin!l(tfrac3pi2r) = -i

Passo 5

As três raízes são
raiz32+12i,
-raiz32+12i
e -i,
que correspondem à alternativa (c).

Resposta

c)

Exercícios de Livros Relacionados