(Irlanda-97) ABCD é um quadrilátero que está circunscrito a uma circunferência &. Se
e BC possui comprimento 1 , prove que
.
Passo 1
Resumindo: temos um quadrilátero
tangencial (ou seja, admite uma circunferência inscrita) com
,
e
. Para resolver, vamos usar que, em todo quadrilátero tangencial, do vértice até o ponto de tangência saem dois segmentos de mesmo comprimento, e que esse comprimento é dado por
onde
é o raio da circunferência inscrita e
é o ângulo do vértice.
Passo 2
Denotemos por
Então
Em especial queremos
e já sabemos
.
Passo 3
Pela fórmula de tangentes em cada vértice:
Como
e
, vem
Sabendo
e
, obtemos
Passo 4
Agora
Substituindo
e simplificando dá
Passo 5
Finalmente, usando
obtemos