(ITA-SP) A condição para que as constantes reais a e b tornem incompatível o sistema linear x+y+3 z & =2 x+2 y+5 z & =1 2 x+2 y+a z & =b é:
a) a-b neq 2
b) a+b=10
c) 4 a-6 b=0
d) ab=32

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x + y + 3z = 2, x + 2y + 5z = 1, 2x + 2y + a z = b,
e pede a condição em a,b para que o sistema seja incompatível. O conteúdo é teoria de sistemas lineares: usamos determinante para ver quando o posto cai e combinação linear para ver incompatibilidade.

Passo 2

Compute o determinante da matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & 3 1 & 2 & 5 2 & 2 & a
Fazendo expansão
det(A) = 1cdot(2a-10) -1cdot(a-10) +3cdot(2-4) = a-6

Passo 3

Para haver incompatibilidade, precisa primeiro ter posto dos coeficientes menor que 3, então
det(A)=0 Longrightarrow a=6

Passo 4

Com a=6, as três linhas de coeficientes são
r1=(1,1,3), r2=(1,2,5), r3=(2,2,6)
Note que r3 =2,r1 +0,r2. Para inconsistente, a mesma relação não pode valer nos termos independentes, ou seja,
b neq 2cdot 2 + 0cdot1 =4
Logo o sistema é incompatível se e só se
a=6 e bneq4

Passo 5

Da condição a=6 e bneq4 segue
6 - b neq 2 Long<=ftrightarrow a - b neq 2
Isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a) a - b neq 2

Exercícios de Livros Relacionados