(UF-CE) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética com razão positiva
. A área desse triângulo em função da razão mede:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado diz que temos um triângulo retângulo cujos três lados estão em progressão aritmética de razão
. Para resolver, vamos usar:
– a definição de progressão aritmética (termos igualmente espaçados por )
– o Teorema de Pitágoras (soma dos quadrados dos catetos igual ao quadrado da hipotenusa)
e por fim calcular a área como .
– a definição de progressão aritmética (termos igualmente espaçados por
– o Teorema de Pitágoras (soma dos quadrados dos catetos igual ao quadrado da hipotenusa)
e por fim calcular a área como
Passo 2
Denotemos os três lados por
onde o maior,
, é a hipotenusa. Aplicando Pitágoras aos catetos
e
, obtemos
Passo 3
Expandindo e simplificando a equação:
Resolvendo em
:
como
temos
(descartamos
).
Passo 4
Com
, os lados ficam
. Portanto, os catetos medem
e
e a área vale
Resposta
(c)