(UF-CE) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética com razão positiva r. A área desse triângulo em função da razão mede:
a) 2 r^2
b) 4 r^2
c) 6 r^2
d) 8 r^2
e) 10 r^2

Passo 1

O enunciado diz que temos um triângulo retângulo cujos três lados estão em progressão aritmética de razão r>0. Para resolver, vamos usar:
– a definição de progressão aritmética (termos igualmente espaçados por r)
– o Teorema de Pitágoras (soma dos quadrados dos catetos igual ao quadrado da hipotenusa)
e por fim calcular a área como tfracproduto dos catetos2.

Passo 2

Denotemos os três lados por
t, t+r, t+2r
onde o maior, t+2r, é a hipotenusa. Aplicando Pitágoras aos catetos t e t+r, obtemos
t^2 + (t+r)^2 = (t+2r)^2

Passo 3

Expandindo e simplificando a equação:
t^2 + (t^2 + 2tr + r^2) = t^2 + 4tr + 4r^2
2t^2 + 2tr + r^2 = t^2 + 4tr + 4r^2
t^2 - 2tr - 3r^2 = 0
Resolvendo em t:
t = 2r pm raiz4r^2 + 12r^22 = 2r pm 4r2,
como t>0 temos t=3r (descartamos t=-r).

Passo 4

Com t=3r, os lados ficam 3r,4r,5r. Portanto, os catetos medem 3r e 4r e a área vale
Área = (3r),(4r)2 = 6r^2 Á

Resposta

(c) 6r^2

Exercícios de Livros Relacionados