(ITA-SP) Considere uma pirâmide regular de base hexagonal, cujo apótema da base mede raiz3 cm. Secciona-se a pirâmide por um plano paralelo à base, obtendo-se um tronco de volume igual a 1 cm^3 e uma nova pirâmide. Dado que a razão entre as alturas das pirâmides é 1raiz2, a altura do tronco, em centímetros, é igual a:
a) (raiz6-raiz2)4
b) (raiz6-raiz3)3
c) (3 raiz3-raiz6)21
d) (3 raiz2-2 raiz3)6
e) (2 raiz6-raiz2)22

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide regular de base hexagonal com apótema da base raiz3,cm. Secciona-se por um plano paralelo à base, gerando um tronco de volume 1,cm^3 e uma pirâmide menor no topo. A razão entre as alturas da pirâmide menor e da original é
H'H = 1raiz2
Precisamos achar a altura do tronco h = H - H'.

Passo 2

Da apótema a=raiz3 do hexágono regular obtemos o lado s por
a = sraiz32 Longrightarrow s=2
A área da base vale
B = perímetrotimes a2 = 6cdot 2cdot raiz32 = 6raiz3 í

Passo 3

O volume da pirâmide original é
V = 13,B,H = 13,(6raiz3),H = 2raiz3,H
Como a pirâmide menor é semelhante à original com razão linear
;k=tfracH'H=1/raiz2, o volume dela é
V' = k^3,V = 1( raiz2)^3,V = V2raiz2
Logo o tronco tem volume
Vtronco = V - V' = Vl(1-12raiz2r)
Como Vtronco=1, segue
V!l(1-12raiz2r)=1 Longrightarrow V = 11-tfrac12raiz2 = 2raiz22raiz2-1

Passo 4

Igualando com V=2raiz3,H temos
2raiz3,H = 2raiz22raiz2-1 Longrightarrow H = 2raiz22raiz3,(2raiz2-1) = 4+raiz27raiz3,
após racionalizar o denominador.

Passo 5

A altura do tronco é
h = H - H' = Hl(1-1raiz2r) = 4+raiz27raiz3l(1-1raiz2r)
Fazendo a álgebra e racionalizando, chega-se a
h = 3raiz3-raiz621

Resposta

c) 3raiz3-raiz621

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