(ITA-87) No desenvolvimento de \left(x^{2}+3 x\right)^{12}, o coeficiente de x^{20} é:
a) 3^{4} \times 55
b) 3^{5} x 110
c) 3^{6} \times 55
d) 3 \times 110

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^{20} no desenvolvimento de \bigl(x^{2}+3x\bigr)^{12}. O conteúdo chave é o Teorema do Binômio de Newton.

Passo 2

Escrevendo o termo geral da expansão em função de k, temos
T_k = \binom{12}{k}\,(x^2)^{\,12-k}\,(3x)^k = \binom{12}{k}\,3^k\,x^{2(12-k)+k} = \binom{12}{k}\,3^k\,x^{24 - k}.

Passo 3

Queremos a potência x^{20}, logo resolvemos
24 - k = 20 \quad\Longrightarrow\quad k = 4.

Passo 4

Substituindo k=4 no coeficiente:
\binom{12}{4}\,3^4 = 495 \times 81 = 40095.
Note que 495 = 55 \times 9 e 81 = 3^4, então
40095 = 55 \times 9 \times 3^4 = 55 \times 3^6.

Resposta

c) 3^6 \times 55

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