(ITA-SP) Determine o número complexo z, sabendo que larg (z-1)=2 pi3 arg (z+1)=pi6 Obs.: arg (w) é o argumento do número complexo w.

Passo 1

Resumindo, buscamos zinC tal que
arg(z-1)=2pi3 e arg(z+1)=pi6
Vamos escrever z=x+iy e usar a definição do argumento em termos da inclinação da reta que vai de cada ponto inicial até z.

Passo 2

Considere w1=z-1=(x-1)+iy. Como
arg(w1)=2pi3,
temos
y,x-1,=tan!l(tfrac2pi3r)=-raiz3,
com a condição de quadrante x-1<0 e y>0. Logo
y=-raiz3,(x-1)

Passo 3

Agora w2=z+1=(x+1)+iy. Como
arg(w2)=pi6,
temos
y,x+1,=tan!l(tfracpi6r)=1raiz3,
com x+1>0 e y>0. Logo
y=x+1raiz3
Igualando as duas expressões para y:
-raiz3,(x-1)=x+1raiz3 Longrightarrow -3x+3 = x+1 Longrightarrow x=12
Substituindo em y=tfracx+1raiz3:
y=tfrac12+1raiz3 =32raiz3 =raiz32

Resposta

z = 12 + i,raiz32

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