(ITA-SP) Determine as raízes em C de 4 z^6+256=0, na forma a+b i, com a e b in R, que pertençam a S=z in C ; 1<|z+2|<3.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
4z^6 + 256 = 0
em C e, dentre as seis raízes, selecionar as que satisfazem
1 < lvert z + 2rvert < 3
O conteúdo usado será: escrever z^6=-64 em forma polar, extrair as raízes de unidade correspondentes e depois testar a condição sobre o módulo lvert z+2rvert.

Passo 2

Isolamos z^6:
4z^6 + 256 = 0 Longrightarrow z^6 = -64
Escrevendo -64 em forma polar, temos
-64 = 64,e^ipi = 64,e^i(pi + 2pi k), kinZ
Logo as raízes são
zk = 64^1/6,e^i(pi+2pi k)/6 = 2,e^i(2k+1)pi6, k=0,1,dots,5

Passo 3

Convertendo para a + bi, para k=0,1,dots,5 obtemos:
z0 = 2e^ipi/6 = raiz3 + i, z1 = 2e^ipi/2 = 2i, z2 = 2e^i5pi/6 = -raiz3 + i, z3 = 2e^i7pi/6 = -raiz3 - i, z4 = 2e^i3pi/2 = -2i, z5 = 2e^i11pi/6 = raiz3 - i

Passo 4

Para cada raiz calculamos lvert zk + 2rvert:
  • z0 + 2 = (2+raiz3)+i tem lvert z0+2rvert^2=(2+raiz3)^2+1=8+4raiz3>9, logo lvert z0+2rvert>3.
  • z1 + 2 = 2+2i tem lvert z1+2rvert=raiz4+4=raiz8approx2,83, que está em (1,3).
  • z2 + 2 = (2-raiz3)+i tem lvert z2+2rvert^2=(2-raiz3)^2+1=8-4raiz3approx1,07, logo lvert z2+2rvertapprox1,03in(1,3).
  • z3 + 2 = (2-raiz3)-i dá a mesma norma de z2+2, isto é approx1,03in(1,3).
  • z4 + 2 = 2-2i tem lvert z4+2rvert=raiz8approx2,83in(1,3).
  • z5 + 2 = (2+raiz3)-i lvert z5+2rvert>3.

Passo 5

As raízes cuja distância a -2 está entre 1 e 3 são
z1=2i, z2=-raiz3 + i, z3=-raiz3 - i, z4=-2i

Resposta

2i,; -2i,; -raiz3 + i,; -raiz3 - i

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