(PUC-SP) Dado o número complexo z=cos pi6+i cdot sen pi6, então se P1 cdot P2 e P3 são as respectivas imagens de z cdot z^2 e z^3 no plano complexo, a medida do maior ângulo interno do triângulo P1 P2 P3 é:
a) 75^circ
b) 100^circ
c) 120^circ
d) 135^circ

Passo 1

O enunciado dá z=cospi6+isenpi6 e diz que P1,P2,P3 são as imagens no plano complexo de z, z^2 e z^3. O conteúdo aqui é representação de número complexo na forma trigonométrica/exponencial, uso do círculo trigonométrico para localizar os pontos e cálculo de ângulos internos de um triângulo conhecidas as distâncias entre vértices.

Passo 2

Escrevemos z em forma exponencial:
z=e^ipi/6
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z^2=e^ipi/3, z^3=e^ipi/2

Passo 3

Os pontos do triângulo são
P1=(costfracpi6,;sentfracpi6), P2=(costfracpi3,;sentfracpi3), P3=(costfracpi2,;sentfracpi2)

Passo 4

Em um círculo de raio 1, o comprimento do corda que une dois pontos cujos argumentos diferem de De<atheta é
2sin!l(tfracDe<atheta2r)
As diferenças de argumentos são
pi/6 pi/3 = pi/6,
pi/3 pi/2 = pi/6,
pi/6 pi/2 = pi/3.
Daí as distâncias:
P1P2 = 2sinl(tfracpi/62r)=2sintfracpi12, P2P3 = 2sintfracpi12, P1P3 = 2sintfracpi6=1

Passo 5

O triângulo é isósceles com lados iguais P1P2=P2P3 e base P1P3=1. O maior ângulo fica oposto à base e pode ser obtido pela lei dos cossenos:
cosalpha = (P1P2)^2 + (P2P3)^2 - (P1P3)^22,(P1P2),(P2P3) = 2,(2sintfracpi12)^2 - 1^22,(2sintfracpi12)^2 = -raiz32
Logo
alpha = arccosl(-tfracraiz32r)=150^circ

Passo 6

Concluímos que o maior ângulo interno do triângulo P1P2P3 é 150^circ, mas nenhuma das alternativas dadas 75^circ,100^circ,120^circ,135^circ coincide com esse valor.

Resposta

Não há alternativa correta entre as fornecidas (o valor obtido é 150^circ).

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