(ITA-SP) Determine todas as matrizes
tais que
.
Passo 1
O enunciado pede para achar todas as matrizes
que comutam com toda matriz
, ou seja, tal que
para todo
. O conteúdo é a noção de centralizador (ou centro) da álgebra
.
Passo 2
Vamos escrever
e testar a condição de comutação escolhendo matrizes
simples, por exemplo as matrizes-canônico
Passo 3
Condição com
:
Para serem iguais, precisamos de
e
.
Passo 4
Agora
já é diagonal:
. Verificamos com
ou direto:
Para igualar, precisamos de
.
Passo 5
Concluímos que as únicas soluções são as matrizes da forma
com
.
Resposta
As soluções são exatamente