(ITA-SP) Determine todas as matrizes M in M2 times 2(R) tais que M N+N M, forall N in M2 times 2(R).

Passo 1

O enunciado pede para achar todas as matrizes Min M2times2(R) que comutam com toda matriz Nin M2times2(R), ou seja, tal que
M,N = N,M
para todo N. O conteúdo é a noção de centralizador (ou centro) da álgebra M2times2(R).

Passo 2

Vamos escrever
M = a & b [6pt] c & d,
e testar a condição de comutação escolhendo matrizes N simples, por exemplo as matrizes-canônico
E11 = 1&00&0,; E12 = 0&10&0,; E21 = 0&01&0,; E22 = 0&00&1 ]

Passo 3

Condição com :
Para serem iguais, precisamos de e .

Passo 4

Agora M já é diagonal: M=a&00&d. Verificamos com E12 ou direto:
M,E12 = a&00&d0&10&0 = 0&a0&0,
E12,M = 0&10&0a&00&d = 0&d0&0
Para igualar, precisamos de a=d.

Passo 5

Concluímos que as únicas soluções são as matrizes da forma
M = lambda&00&lambda = lambda,I,
com lambdainR.

Resposta

As soluções são exatamente
M = lambda,I2, lambdainR

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