(ITA-81) Dizemos que uma matriz real quadrada A é singular, se \operatorname{det} \mathrm{A}=0, ou seja. se o determinante de A é nulo, e não-singular se \operatorname{det} A \neq 0. Mediante esta definição, qual das afirmações abaixo ė verdadeira?
a) A soma de duas matrizes A e B é uma matriz singular, se \operatorname{det} A=-\operatorname{det} B.
b) O produto de duas matrizes é uma matriz singular se, e somente se, ambas forem singulares.
c) O produto de duas matrizes é uma matriz singular se pelo menos uma delas for singular.
d) Uma matriz singular possui inversa.
e) A transposta de uma matriz singular é não-singular.

Passo 1

O enunciado define que uma matriz quadrada A é singular se \det A = 0 e não-singular se \det A \neq 0. Vamos testar cada afirmação usando propriedades de determinantes, em especial:
\det(A+B)\neq \det A + \det B\quad\text{(em geral)},
\det(AB)=\det A\;\det B,
e
\det(A^T)=\det A.

Passo 2

Analisando a opção (a): “A soma de duas matrizes A e B é singular se \det A = -\det B.”
Em geral não vale \det(A+B)=\det A + \det B. Logo, mesmo que \det A = -\det B, não podemos garantir que \det(A+B)=0. Portanto (a) é falsa.

Passo 3

Analisando a opção (b): “O produto de duas matrizes é singular se, e somente se, ambas forem singulares.”
Pela propriedade \det(AB)=\det A\,\det B, temos:
  • Se ambas são singulares ( \det A=0 e \det B=0), então \det(AB)=0 (produto singular).
  • Mas se apenas uma for singular, digamos \det A=0 e \det B\neq0, ainda assim \det(AB)=0.
    Logo a condição “se e somente se ambas forem singulares” é muito restritiva. (b) é falsa.

Passo 4

Analisando a opção (c): “O produto de duas matrizes é uma matriz singular se pelo menos uma delas for singular.”
De fato, se \det A=0 ou \det B=0, então
\det(AB)=\det A\;\det B=0,
logo AB é singular. Esta afirmação está de acordo com a propriedade de determinantes e é verdadeira.

Passo 5

Analisando a opção (d): “Uma matriz singular possui inversa.”
Pelo contrário, singularidade significa justamente a ausência de inversa. Então (d) é falsa.

Passo 6

Analisando a opção (e): “A transposta de uma matriz singular é não-singular.”
Como \det(A^T)=\det A, se A é singular ( \det A=0), então \det(A^T)=0 e A^T também é singular. Logo (e) é falsa.

Resposta

(c) O produto de duas matrizes é uma matriz singular se pelo menos uma delas for singular.
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