(ITA-81) Dizemos que uma matriz real quadrada A é singular, se
, ou seja. se o determinante de A é nulo, e não-singular se
. Mediante esta definição, qual das afirmações abaixo ė verdadeira?
a) A soma de duas matrizes
e
é uma matriz singular, se
.
b) O produto de duas matrizes é uma matriz singular se, e somente se, ambas forem singulares.
c) O produto de duas matrizes é uma matriz singular se pelo menos uma delas for singular.
d) Uma matriz singular possui inversa.
e) A transposta de uma matriz singular é não-singular.
a) A soma de duas matrizes
b) O produto de duas matrizes é uma matriz singular se, e somente se, ambas forem singulares.
c) O produto de duas matrizes é uma matriz singular se pelo menos uma delas for singular.
d) Uma matriz singular possui inversa.
e) A transposta de uma matriz singular é não-singular.
Passo 1
O enunciado define que uma matriz quadrada
é singular se
e não-singular se
. Vamos testar cada afirmação usando propriedades de determinantes, em especial:
e
Passo 2
Analisando a opção (a): “A soma de duas matrizes
e
é singular se
.”
Em geral não vale . Logo, mesmo que
, não podemos garantir que
. Portanto (a) é falsa.
Em geral não vale
Passo 3
Analisando a opção (b): “O produto de duas matrizes é singular se, e somente se, ambas forem singulares.”
Pela propriedade , temos:
Pela propriedade
- Se ambas são singulares (
e ), então (produto singular). - Mas se apenas uma for singular, digamos
e , ainda assim .
Logo a condição “se e somente se ambas forem singulares” é muito restritiva. (b) é falsa.
Passo 4
Analisando a opção (c): “O produto de duas matrizes é uma matriz singular se pelo menos uma delas for singular.”
De fato, se ou
, então
De fato, se
logo
é singular. Esta afirmação está de acordo com a propriedade de determinantes e é verdadeira.
Passo 5
Analisando a opção (d): “Uma matriz singular possui inversa.”
Pelo contrário, singularidade significa justamente a ausência de inversa. Então (d) é falsa.
Pelo contrário, singularidade significa justamente a ausência de inversa. Então (d) é falsa.
Passo 6
Analisando a opção (e): “A transposta de uma matriz singular é não-singular.”
Como , se
é singular (
), então
e
também é singular. Logo (e) é falsa.
Como
Resposta
(c) O produto de duas matrizes é uma matriz singular se pelo menos uma delas for singular.