(ITA-80) Sejam \mathrm{A}=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}\right) uma matriz real quadrada de ordem 2 e Iz a matriz identidade também de ordem 2. Sc rı c rz são as raízes da equação \operatorname{det}\left(\mathrm{A}-\mathrm{rI}_{2}\right)=\mathrm{nr}, onde n é um número inteiro positivo, podemos afirmar que:
a) r_{1}+r_{2}=a_{11}+a_{22}
b) r_{1}+r_{2}=-\left(a_{11}+a_{22}\right)
c) r_{1}+r_{2}=n \cdot\left(a_{11}+a_{22}\right)
d) r_{1} \cdot r_{2}=\operatorname{det} A
e) r_{1} . r_{2}=-n . \operatorname{det} A

Passo 1

O enunciado dá uma matriz real quadrada A=(a_{ij}) de ordem 2 e a identidade I_2. As raízes r_1,r_2 satisfazem
\det\bigl(A - rI_2\bigr)=n\,r,
onde n é inteiro positivo. Precisamos relacionar r_1+r_2 e r_1r_2 com os elementos de A.

Passo 2

Calculemos a parte esquerda:
\det\bigl(A - rI_2\bigr) = \det\!\begin{pmatrix}a_{11}-r & a_{12}\\[6pt]a_{21} & a_{22}-r\end{pmatrix} = (a_{11}-r)(a_{22}-r) - a_{12}a_{21}.
Expandindo,
\det(A - rI_2) = r^2 - (a_{11} + a_{22})\,r + \det A.]

Passo 3

A equação proposta é
r^2-(a_{11}+a_{22})\,r+\det A=n\,r.
Levantando todos os termos à esquerda,
r^2-\bigl(a_{11}+a_{22}+n\bigr)r+\det A=0.

Passo 4

Pela relação de Viète para a equação r^2 - Sr + P=0, temos
r_1+r_2=S \quad\text{e}\quad r_1r_2=P.
Aqui S=a_{11}+a_{22}+n e P=\det A. Logo
r_1+r_2=a_{11}+a_{22}+n, \qquad r_1r_2=\det A.

Passo 5

Comparando com as alternativas, apenas a afirmação
r_1\cdot r_2=\det A
corresponde à letra (d).

Resposta

d) r_{1}\cdot r_{2}=\det A
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