(ITA-SP) Uma esfera está inscrita em uma pirâmide regular hexagonal cuja altura mede 12 cm e a aresta da base mede
. Então o raio da esfera, em cm , é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado descreve uma pirâmide regular de base hexagonal com aresta da base
cm e altura
cm, e pede o raio
da esfera inscrita nessa pirâmide. Para resolver, vamos usar a fórmula de raio de esfera inscrita em poliedro tangencial, junto com áreas da base e das faces laterais.
Passo 2
Em todo poliedro que admite esfera inscrita, vale
onde
é o volume e
é a área total das faces. Para a pirâmide,
Passo 3
A área da base hexagonal regular de lado
é
Passo 4
O apótema do hexágono (distância do centro ao meio de cada aresta) é
Assim a geratriz lateral (slant height) é
Passo 5
A área lateral total, somando as 6 faces triangulares de base
e altura
, é
Passo 6
Substituindo em