(ITA-SP) Uma esfera está inscrita em uma pirâmide regular hexagonal cuja altura mede 12 cm e a aresta da base mede 103 raiz3 cm. Então o raio da esfera, em cm , é igual a:
a) 103 raiz3
b) 133
c) 154
d) 2 raiz3
e) 103

Passo 1

O enunciado descreve uma pirâmide regular de base hexagonal com aresta da base a=tfrac103raiz3 cm e altura H=12 cm, e pede o raio r da esfera inscrita nessa pirâmide. Para resolver, vamos usar a fórmula de raio de esfera inscrita em poliedro tangencial, junto com áreas da base e das faces laterais.

Passo 2

Em todo poliedro que admite esfera inscrita, vale
r = 3VStotal,
onde V é o volume e Stotal=Abase+Alateral é a área total das faces. Para a pirâmide,
V = 13Abase,H Longrightarrow r = 3l(tfrac13AbaseHr)Abase+Alateral = Abase,HAbase+Alateral

Passo 3

A área da base hexagonal regular de lado a é
Abase = 3raiz32,a^2 = 3raiz32,l(103raiz3r)^2 = 3raiz32,1003 = 50raiz3 cm^2

Passo 4

O apótema do hexágono (distância do centro ao meio de cada aresta) é
apotema = araiz32 = ,(10/3)raiz3,raiz32 =5 cm
Assim a geratriz lateral (slant height) é
l = raizH^2 + (apotema)^2 = raiz12^2 +5^2 =13 cm

Passo 5

A área lateral total, somando as 6 faces triangulares de base a e altura l, é
Alateral =6cdot12a,l =3,a,l =3cdot103raiz3cdot13 =130raiz3 cm^2

Passo 6

Substituindo em
r = Abase,HAbase+Alateral = 50raiz3cdot1250raiz3+130raiz3 = 600raiz3180raiz3 = 600180 = 103 cm

Resposta

103

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