(ITA-SP) Em um espaço amostral com uma probabilidade P, são dados os eventos A, B e C tais que: P(A)=P(B)=12, com A e B independentes, P(A cap B cap C)=116, e sabe-se que P((A cap B) U(A cap C))=310. Calcule as probabilidades condicionais P(C mid A cap B) e P(C mid A cap B^C).

Passo 1

O enunciado dá um espaço amostral com eventos A, B e C tais que
  • P(A)=P(B)=tfrac12 e A e B são independentes,
  • P(Acap Bcap C)=tfrac116,
  • Pl((Acap B)cup(Acap C)r)=tfrac310.
Queremos calcular
Pl(C mid Acap Br) e Pl(C mid Acap B^Cr)
Para isso vamos usar as definições de probabilidade condicional, a independência de A e B, e a fórmula da probabilidade da união de dois eventos.

Passo 2

Como A e B são independentes,
P(Acap B)=P(A),P(B)=tfrac12cdottfrac12=tfrac14

Passo 3

Usamos a fórmula da união:
Pl((Acap B)cup(Acap C)r) = P(Acap B)+P(Acap C)-P(Acap Bcap C)
Substituindo os valores conhecidos:
tfrac310 = tfrac14 + P(Acap C) - tfrac116
Como tfrac14-tfrac116=tfrac316, temos
tfrac310 = tfrac316 + P(Acap C) Longrightarrow P(Acap C) = tfrac310-tfrac316 = tfrac48-30160 = tfrac18160 = tfrac980

Passo 4

A probabilidade condicional P(Cmid Acap B) é
Pl(Cmid Acap Br) = P(Acap Bcap C)P(Acap B) = tfrac116tfrac14 = 116cdot4 = tfrac14

Passo 5

Para P(Cmid Acap B^C) precisamos de P(Acap B^C) e de P(Acap B^Ccap C).
Temos
P(Acap B^C) = P(A)-P(Acap B) = tfrac12-tfrac14 = tfrac14,
P(Acap B^Ccap C) = P(Acap C)-P(Acap Bcap C) = tfrac980-tfrac116 = tfrac980-tfrac580 = tfrac480 = tfrac120
Logo
Pl(Cmid Acap B^Cr) = P(Acap B^Ccap C)P(Acap B^C) = tfrac120tfrac14 = 120cdot4 = tfrac15

Resposta

P(Cmid Acap B)=tfrac14
Pl(Cmid Acap B^Cr)=tfrac15

Exercícios de Livros Relacionados