(ITA-SP) Uma pirâmide regular tem por base um hexágono cuja diagonal menor mede 3 raiz3 cm. As faces laterais desta pirâmide formam diedros de 60^circ com o plano da base. A área total da pirâmide, em cm^2, é:
a) 81 raiz32
b) 81 raiz22
c) 812
d) 27 raiz3
e) 27 raiz2

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide regular cuja base é um hexágono regular de “diagonal menor” 3raiz3,cm. A “diagonal menor” de um hexágono regular é o segmento que liga dois vértices com um vértice entre eles, e vale raiz3,s, onde s é o lado. As faces laterais formam diedros de 60^circ com o plano da base.
Conteúdo: geometria espacial de pirâmide regular, área de polígono regular e diédros. Vamos precisar de
1. determinar s a partir da diagonal menor;
2. calcular a altura H da pirâmide usando tan 60^circ;
3. obter a área da base (hexágono regular);
4. obter a área lateral ( 6 triângulos isósceles);
5. somar base + lateral.

Passo 2

Determinar o lado s do hexágono.
Se a diagonal menor vale raiz3,s=3raiz3, então
raiz3,s=3raiz3 implies s=3,

Passo 3

Calcular a altura H da pirâmide usando o diedro de 60^circ.
Num corte vertical passando pelo centro da base O e pelo ponto médio M de um lado, forma-se um triângulo retângulo AOM, onde A é o vértice da pirâmide.
  • OM é o apótema do hexágono:
OM = arm hex = sraiz32 = 3raiz32
  • A face lateral faz ângulo 60^circ com o plano da base, logo
tan 60^circ = HOM implies H = OMcdottan60^circ = 3raiz32cdotraiz3 = 92

Passo 4

Área da base: hexágono regular de lado s=3, cuja área é
Árearm base = 3raiz32,s^2 = 3raiz32cdot 9 = 27raiz32 Á

Passo 5

Área lateral: são 6 triângulos isósceles de base s=3 e altura de face (slant-height) igual à projeção de AM no plano da face, que é
raizH^2 + OM^2 = raizl(tfrac92r)^2 + l(tfrac3raiz32r)^2 = raiz81+274 = raiz1084 = raiz27 = 3raiz3
Cada triângulo tem área
12,l(baser)timesl(a<urar) = 12cdot3cdot(3raiz3) = 9raiz32,
portanto a área lateral total é
6cdot9raiz32 = 27raiz3

Passo 6

Somar base + lateral:
Área total = 27raiz32 + 27raiz3 = 27raiz32 + 54raiz32 = 81raiz32 Á

Resposta

boxed81raiz32

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