(ITA-SP) Uma pirâmide regular tem por base um hexágono cuja diagonal menor mede
. As faces laterais desta pirâmide formam diedros de
com o plano da base. A área total da pirâmide, em
, é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá uma pirâmide regular cuja base é um hexágono regular de “diagonal menor”
. A “diagonal menor” de um hexágono regular é o segmento que liga dois vértices com um vértice entre eles, e vale
, onde
é o lado. As faces laterais formam diedros de
com o plano da base.
Conteúdo: geometria espacial de pirâmide regular, área de polígono regular e diédros. Vamos precisar de
. determinar
a partir da diagonal menor;
. calcular a altura
da pirâmide usando
;
. obter a área da base (hexágono regular);
. obter a área lateral (
triângulos isósceles);
. somar base
lateral.
Conteúdo: geometria espacial de pirâmide regular, área de polígono regular e diédros. Vamos precisar de
Passo 2
Determinar o lado
do hexágono.
Se a diagonal menor vale , então
Se a diagonal menor vale
Passo 3
Calcular a altura
da pirâmide usando o diedro de
.
Num corte vertical passando pelo centro da base e pelo ponto médio
de um lado, forma-se um triângulo retângulo
, onde
é o vértice da pirâmide.
Num corte vertical passando pelo centro da base
-
é o apótema do hexágono:
- A face lateral faz ângulo
com o plano da base, logo
Passo 4
Área da base: hexágono regular de lado
, cuja área é
Passo 5
Área lateral: são
triângulos isósceles de base
e altura de face (slant-height) igual à projeção de
no plano da face, que é
Cada triângulo tem área
portanto a área lateral total é
Passo 6
Somar base
lateral: