(ITA-SP) Os pontos e são vértices de um cubo, em que é uma das arestas. A área lateral do octaedro cujos vértices são os pontos médios da face do cubo é igual a:
a) raiz8
b) 3
c) raiz12
d) 4
e) raiz18
Passo 1
O enunciado dá dois vértices de um cubo, A=(3,4) e B=(4,3), e diz que AB é uma aresta. Queremos a área lateral do octaedro cujos vértices são os pontos médios das faces desse cubo. Para resolver, precisamos (i) calcular o comprimento da aresta do cubo e (ii) usar a relação entre esse cubo e o octaedro formado pelos centros de suas faces.
Passo 2
O comprimento da aresta do cubo é a distância entre A e B. Como A=(3,4,0) e B=(4,3,0) (podemos supor z=0),
Os pontos médios das faces de um cubo formam um octaedro regular. Seja d a aresta desse octaedro. É conhecido que
d = sraiz2
Passo 4
A área total de um octaedro regular de aresta d é
A = 8 times l(raiz34d^2r) ;=; 2raiz3,d^2
Passo 5
Substituindo d = s/raiz2 em A = 2raiz3,d^2:
d^2 = s^22 Longrightarrow A = 2raiz3,s^22 = raiz3,s^2
Como s^2 = 2, obtemos
A = raiz3times 2 = 2raiz3 = raiz12
Resposta
raiz12
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo Questões de vestobulares.Questões de vestobulares - Ex. 218