(ITA-SP) Os quatro vértices de um tetraedro regular, de volume
, encontram-se nos vértices de um cubo. Cada vértice do cubo é centro de uma esfera de 1 cm de raio. Calcule o volume da parte do cubo exterior às esferas.
Passo 1
O enunciado diz que um tetraedro regular de volume
tem seus quatro vértices em vértices de um cubo, e cada vértice do cubo é centro de uma esfera de raio
. Precisamos achar o volume da parte do cubo que fica fora dessas esferas. Vamos usar a fórmula do volume de um tetraedro regular, a relação entre aresta do tetraedro e aresta do cubo, o volume do cubo e o volume da esfera.
Passo 2
Seja
a aresta do cubo. Um tetraedro formado pelos v’ertices\linebreak
,
,
e
`e regular de aresta
O volume de um tetraedro regular de aresta
`e
Substituindo
temos
Como
, igualamos
Passo 3
O volume do cubo é
Passo 4
Cada esfera de raio
centrada em um vértice contribui, dentro do cubo, com exatamente um octante da esfera (pois o vértice é um canto do cubo). Logo o volume total dessas partes de esfera dentro do cubo é
Não há sobreposição de volume significativo entre esses octantes (só tangências).
Passo 5
O volume da região do cubo que fica fora das esferas é