(ITA-SP) Os quatro vértices de um tetraedro regular, de volume 83 cm^3, encontram-se nos vértices de um cubo. Cada vértice do cubo é centro de uma esfera de 1 cm de raio. Calcule o volume da parte do cubo exterior às esferas.

Passo 1

O enunciado diz que um tetraedro regular de volume tfrac83,cm^3 tem seus quatro vértices em vértices de um cubo, e cada vértice do cubo é centro de uma esfera de raio 1. Precisamos achar o volume da parte do cubo que fica fora dessas esferas. Vamos usar a fórmula do volume de um tetraedro regular, a relação entre aresta do tetraedro e aresta do cubo, o volume do cubo e o volume da esfera.

Passo 2

Seja s a aresta do cubo. Um tetraedro formado pelos v’ertices\linebreak (0,0,0), (s,s,0), (s,0,s) e (0,s,s) `e regular de aresta
a = sraiz2
O volume de um tetraedro regular de aresta a `e
V = a^36raiz2
Substituindo a = sraiz2 temos
V = (sraiz2)^36raiz2 = 2s^36 = s^33
Como V=tfrac83, igualamos
s^33 = 83 Longrightarrow s^3 = 8 Longrightarrow s = 2

Passo 3

O volume do cubo é
Vcubo = s^3 = 2^3 = 8

Passo 4

Cada esfera de raio 1 centrada em um vértice contribui, dentro do cubo, com exatamente um octante da esfera (pois o vértice é um canto do cubo). Logo o volume total dessas partes de esfera dentro do cubo é
8 times 18times 43pi = 43pi
Não há sobreposição de volume significativo entre esses octantes (só tangências).

Passo 5

O volume da região do cubo que fica fora das esferas é
Vresto = Vcubo - 43pi = 8 - 43pi

Resposta

8 - tfrac43pi

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