(ITA-SP) A razão entre a área lateral e a área da base octogonal de uma pirâmide regular é igual a raiz5. Exprima o volume dessa pirâmide em termos da medida a do apótema da base.

Passo 1

O enunciado define uma pirâmide regular de base octogonal com apótema da base a e informa que a razão entre a área lateral e a área da base é raiz5. Vamos usar:
  1. Fórmula da área de um polígono regular em função do apótema.
  2. Fórmula da área lateral de uma pirâmide regular.
  3. Relação entre altura h, apótema da base a e apótema lateral l.
  4. Fórmula do volume de pirâmide V=tfrac13B,h.

Passo 2

Seja s o lado do octógono. O apótema da base satisfaz
a=s2tan(pi/8) Longrightarrow s=2atanl(tfracpi8r)
A área da base vale
B=perímetrotimes apótema2 =8scdot a2 =4as =8a^2tanl(tfracpi8r) íó

Passo 3

A área lateral é
L=perímetrotimes apótema lateral2 =8scdot l2 =4s,l íó
Como tfracLB=raiz5, temos
4s,l4as=la=raiz5 Longrightarrow l=araiz5

Passo 4

No triângulo retângulo formado pelo eixo da pirâmide, o apótema da base a e a apótema lateral l, vale
l^2=h^2+a^2 Longrightarrow h^2=(araiz5)^2 - a^2=4a^2 Longrightarrow h=2a

Passo 5

O volume é
V=13B,h =13l(8a^2tan(tfracpi8)r),(2a) =163,a^3tanl(tfracpi8r)
Como tan(tfracpi8)=raiz2-1, segue também
V=163,a^3(raiz2-1)

Resposta

V=163,a^3tan!l(tfracpi8r) ou V=163,a^3(raiz2-1)

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