(ITA-SP) Sabe-se que ( x+2 y, 3 x-5 y, 8 x-2 y, 11 x-7 y+2 z ) é uma progressão aritmética com o último termo igual a -127 . Então, o produto xyz é igual a:
a) -60
b) -30
c) 0
d) 30
e) 60

Passo 1

O enunciado dá quatro expressões
x + 2y, 3x - 5y, 8x - 2y, 11x - 7y + 2z
que formam uma progressão aritmética (PA) e diz que o último termo vale -127. Nosso objetivo é achar xyz. Para isso vamos usar a definição de PA: as diferenças entre termos consecutivos são iguais.

Passo 2

Denotando
T1 = x + 2y, T2 = 3x - 5y, T3 = 8x - 2y, T4 = 11x - 7y + 2z,
a condição de PA implica
T2 - T1 = T3 - T2 e T3 - T2 = T4 - T3

Passo 3

Vamos calcular cada diferença:
T2 - T1 = (3x - 5y) - (x + 2y) = 2x - 7y,
T3 - T2 = (8x - 2y) - (3x - 5y) = 5x + 3y,
T4 - T3 = (11x - 7y + 2z) - (8x - 2y) = 3x - 5y + 2z
Logo as duas equações são
2x - 7y = 5x + 3y e 5x + 3y = 3x - 5y + 2z

Passo 4

Da primeira equação
2x - 7y = 5x + 3y implies -3x -10y = 0 implies 3x +10y = 0 implies y = -3x10

Passo 5

Da segunda equação
5x + 3y = 3x - 5y + 2z implies 2x + 8y = 2z implies z = x + 4y

Passo 6

Como o quarto termo vale -127, temos
11x - 7y + 2z = -127
Substituindo y = -tfrac3x10 e z = x + 4y nessa equação dá
127x10 = -127 implies x = -10

Passo 7

Com x = -10 obtemos
y = -3(-10)10 = 3, z = -10 + 4cdot 3 = 2
Logo
xyz = (-10)times 3 times 2 = -60

Resposta

-60

Exercícios de Livros Relacionados