(ITA-88) Seja A uma matriz quadrada inversivel, de ordem 3. Seja B a matriz dos cofatores da matriz A . Sabendo-se que \operatorname{det} \mathrm{A}=-2, calcule \operatorname{det} B.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada invertível A de ordem 3 com \det(A)=-2 e pede o valor de \det(B), onde B é a matriz de cofatores de A. Para resolver, vamos usar as propriedades da matriz adjunta (adjugate) e determinante de produto e escalar.

Passo 2

A matriz de cofatores B está relacionada à adjunta de A pela transposição:
\operatorname{adj}(A)=B^{T}.
Como a operação de transpor não altera o valor do determinante, temos
\det(B)=\det\bigl(B^{T}\bigr)=\det\bigl(\operatorname{adj}(A)\bigr).

Passo 3

Sabemos também que
\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,A^{-1}.
Usando as propriedades de determinante de produto e de escalar em matriz 3\times3, segue:
\det\bigl(\operatorname{adj}(A)\bigr) =\det\bigl(\det(A)\,A^{-1}\bigr) =\det(A)^{3}\,\det\bigl(A^{-1}\bigr) =\det(A)^{3}\,\frac{1}{\det(A)} =\det(A)^{2}.

Passo 4

Substituindo \det(A)=-2 na expressão anterior, obtemos
\det(B)=\det(A)^{2}=(-2)^{2}=4.

Resposta

4
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados