(ITA-87) Seja \lambda um número real, 1 a matriz identidade de ordem 2 e A a matriz quadrada de ordem 2 , cujos elementos \mathrm{a}_{\mathrm{ij}} são definidos por: \mathrm{a}_{\mathrm{ij}}=\mathrm{i}+\mathrm{j}. Sobre a equação em \lambda definida por
\operatorname{det}(A-\lambda I)=\operatorname{det} A-\lambda, qual das afirmações abaixo é verdadeira?
a) Apresenta apenas raízes negativas.
b) Apresenta apenas raizes inteiras.
c) Uma raiz è nula e a outra negativa.
d) As raízes são 0 e 5/2.
e) Todo \lambda real satisfaz esta equação.

Passo 1

O enunciado define a matriz A de ordem 2 cujos elementos são a_{ij}=i+j e considera a equação em \lambda
\det(A-\lambda I)=\det A - \lambda.
O conteúdo envolvido é cálculo de determinantes e solução de equação polinomial em \lambda.

Passo 2

Escrevendo explicitamente A, temos
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1 & 1+2 \\\\ 2+1 & 2+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\\\ 3 & 4 \end{pmatrix}.
Calculamos primeiro \det A:
\det A = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 3 = 8 - 9 = -1.

Passo 3

Agora calculamos \det(A-\lambda I).
Em bloco:
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 3 \\\\ 3 & 4-\lambda \end{pmatrix},
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\det(A-\lambda I) = (2-\lambda)(4-\lambda) - 3 \cdot 3 = \bigl(8 -6\lambda + \lambda^2\bigr) - 9 = \lambda^2 -6\lambda -1.

Passo 4

Substituindo na equação
\det(A-\lambda I)=\det A - \lambda
temos
\lambda^2 -6\lambda -1 = -1 - \lambda \;\Longrightarrow\; \lambda^2 -6\lambda -1 +1 +\lambda =0 \;\Longrightarrow\; \lambda^2 -5\lambda =0 \;\Longrightarrow\; \lambda(\lambda-5)=0.
As raízes são \lambda=0 e \lambda=5.

Resposta

b)
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