(ITA-86) Seja x \in \Re e A a matriz definida por
A=\left[\begin{array}{cc} 1+\operatorname{sen} x & \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) \\\ \cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right) & \frac{1}{2} \end{array}\right]
Se S é o conjunto dos x tais que A é uma matriz inversível, então podemos afirmar que:
a) S é vazio
b) S=\{k \pi / 2, k \in Z\}
c) S=[0,2 \pi]
d) S=\{k \pi, k \in Z\}
e) S=[-\pi / 2, \pi / 2]

Passo 1

O enunciado dá uma matriz
A=\begin{pmatrix} 1+\sin x & \sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{x}{2}\bigr)\\[6pt] \cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{x}{2}\bigr) & \tfrac12 \end{pmatrix},
e pede o conjunto S\subset\mathbb{R} em que A é invertível. Para isso, vamos calcular o determinante de A e achar onde ele é diferente de zero.]

Passo 2

O determinante de A é
\det(A) =\bigl(1+\operatorname{sen} x\bigr)\cdot\tfrac12 \;-\;\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{x}{2}\bigr)\,\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{x}{2}\bigr).
Agora usamos a identidade
\operatorname{sen} a\cos b =\tfrac12\bigl[\operatorname{sen}(a+b)+\operatorname{sen}(a-b)\bigr].
Tomando a=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{x}{2} e b=\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{x}{2}, temos
a+b=\tfrac{\pi}{2}, \quad a-b=x,
então
\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{x}{2}\bigr)\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{x}{2}\bigr) =\tfrac12\bigl[\operatorname{sen}\tfrac{\pi}{2}+\operatorname{sen} x\bigr] =\tfrac12\bigl[1+\operatorname{sen} x\bigr].
Logo
\det(A) =\tfrac12\bigl(1+\operatorname{sen} x\bigr) -\tfrac12\bigl(1+\operatorname{sen} x\bigr) =0
para todo x\in\R.

Resposta

O conjunto S é vazio, pois \det(A)=0 para todo x. Portanto, a alternativa correta é a) S é vazio.
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