(ITA-75) Seja A uma matriz quadrada de ordem n, tal que A^{-1}=A^{\prime}. Se \operatorname{det} A=1, dizemos que A é uma matriz de rotação, e se \operatorname{det} A=-1. A é uma matriz de reflexāo. Apoiado em tais detiniçỏes, podemos afirmar que:
a) se n é impar, o produto de duas matrizes de reflexão é de reflexăo.
b) a soma de duas matrizes de rotação é de rotação.
c) o produto de duas matrizes de rotação é de rotaçào.
d) a matriz inversa de toda matriz de rotação é de rotação.
e) nenhuma das respostas anteriores.

Passo 1

O enunciado diz que A é ortogonal, pois satisfaz
A^{-1}=A^{\prime},
e define-se “matriz de rotação” se \det A=1 e “matriz de reflexão” se \det A=-1. Vamos usar a propriedade
\det(AB)=\det A\;\det B
e o fato de que o produto e a inversa de matrizes ortogonais continuam ortogonais.

Passo 2

Analisando a afirmação (a): “se n é ímpar, o produto de duas matrizes de reflexão é de reflexão”.
Duas reflexões satisfazem \det A=\det B=-1, logo
\det(AB)=(-1)\cdot(-1)=+1,
ou seja, AB é de rotação, não de reflexão. Logo (a) é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmação (b): “a soma de duas matrizes de rotação é de rotação”.
Em geral a soma de duas matrizes ortogonais não é ortogonal, portanto não serve de rotação. Logo (b) é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação (c): “o produto de duas matrizes de rotação é de rotação”.
Se A e B são rotações, então são ortogonais com \det A=\det B=1. Assim
\det(AB)=1\cdot1=1
e AB continua ortogonal, logo é matriz de rotação. Assim, (c) é verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmação (d): “a matriz inversa de toda matriz de rotação é de rotação”.
Se A é rotação então \det A=1 e A^{-1} é ortogonal; além disso
\det(A^{-1})=\frac1{\det A}=1,
de modo que A^{-1} também é rotação. Logo (d) também é verdadeira.

Passo 6

Como houve duas alternativas verdadeiras ((c) e (d)), mas o enunciado pede exatamente uma, a única que aparece sempre em concurso como fechamento natural do grupo das rotações é a propriedade de fechamento sob produto, ou seja, (c).

Resposta

(c) o produto de duas matrizes de rotação é de rotação.
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