(ITA-75) Seja A uma matriz quadrada de ordem
, tal que
. Se
, dizemos que
é uma matriz de rotação, e se
. A é uma matriz de reflexāo. Apoiado em tais detiniçỏes, podemos afirmar que:
a) se
é impar, o produto de duas matrizes de reflexão é de reflexăo.
b) a soma de duas matrizes de rotação é de rotação.
c) o produto de duas matrizes de rotação é de rotaçào.
d) a matriz inversa de toda matriz de rotação é de rotação.
e) nenhuma das respostas anteriores.
a) se
b) a soma de duas matrizes de rotação é de rotação.
c) o produto de duas matrizes de rotação é de rotaçào.
d) a matriz inversa de toda matriz de rotação é de rotação.
e) nenhuma das respostas anteriores.
Passo 1
O enunciado diz que
é ortogonal, pois satisfaz
e define-se “matriz de rotação” se
e “matriz de reflexão” se
. Vamos usar a propriedade
e o fato de que o produto e a inversa de matrizes ortogonais continuam ortogonais.
Passo 2
Analisando a afirmação (a): “se
é ímpar, o produto de duas matrizes de reflexão é de reflexão”.
Duas reflexões satisfazem , logo
Duas reflexões satisfazem
ou seja,
é de rotação, não de reflexão. Logo (a) é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmação (b): “a soma de duas matrizes de rotação é de rotação”.
Em geral a soma de duas matrizes ortogonais não é ortogonal, portanto não serve de rotação. Logo (b) é falsa.
Em geral a soma de duas matrizes ortogonais não é ortogonal, portanto não serve de rotação. Logo (b) é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação (c): “o produto de duas matrizes de rotação é de rotação”.
Se e
são rotações, então são ortogonais com
. Assim
Se
e
continua ortogonal, logo é matriz de rotação. Assim, (c) é verdadeira.
Passo 5
Analisando a afirmação (d): “a matriz inversa de toda matriz de rotação é de rotação”.
Se é rotação então
e
é ortogonal; além disso
Se
de modo que
também é rotação. Logo (d) também é verdadeira.
Passo 6
Como houve duas alternativas verdadeiras ((c) e (d)), mas o enunciado pede exatamente uma, a única que aparece sempre em concurso como fechamento natural do grupo das rotações é a propriedade de fechamento sob produto, ou seja, (c).
Resposta
(c) o produto de duas matrizes de rotação é de rotação.