(ITA-87) Seja f: \Re \rightarrow \Re uma função real tal que: f(x) \neq 0, para cada x em \Re e f(x+y)=f(x) . f(y), para todos x e y em 9i. Considere ( a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} ) uma PA de razão r, tal que a_{1}=0. Então ( f\left(a_{1}\right), f\left(a_{2}\right), \left.f\left(a_{3}\right), f\left(a_{1}\right)\right)
a) É uma PA de razão igual a f(r) e 1^{\circ} termo f\left(a_{1}\right)=f(0)
b) É uma PA de razão igual a r
c) É uma PG de razão igual a f(r) e 1^{\circ} termo f\left(a_{1}\right)=1
d) É uma PG dc razão igual a re 1^{\circ} termo f\left(a_{1}\right)=f(0)

Passo 1

O enunciado dá uma função f:\Re\to\Re não nula que satisfaz
f(x+y)=f(x)\,f(y)\quad\text{para todos \(x,y\in\Re\)},
e diz que (a_1,a_2,a_3,a_4) é uma PA de razão r com a_1=0. Precisamos identificar a sequência
\bigl(f(a_1),f(a_2),f(a_3),f(a_4)\bigr): se é PA ou PG, qual a razão e qual o primeiro termo.

Passo 2

Pela funcionalidade, tome x=0 e y=0:
f(0+0)=f(0)\,f(0)\implies f(0)=\bigl(f(0)\bigr)^2.
Como f(0)\neq0, segue \;f(0)=1.

Passo 3

Na PA com a_1=0 e razão r temos
a_2=r,\quad a_3=2r,\quad a_4=3r.
Usando repetidamente f(x+y)=f(x)f(y) (indução), conclui-se
f(nr)=\bigl(f(r)\bigr)^n\quad\text{para todo inteiro \(n\ge0\)}.
Assim
f(a_k)=f\bigl((k-1)r\bigr)=\bigl(f(r)\bigr)^{\,k-1}.

Passo 4

Da expressão acima vemos que cada termo se obtém multiplicando o anterior por f(r). Logo \bigl(f(a_1),f(a_2),f(a_3),f(a_4)\bigr) é uma PG de razão f(r) e primeiro termo
f(a_1)=f(0)=1.

Resposta

c) É uma PG de razão igual a f(r) e 1^{\circ} termo f(a_{1})=1.

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