(ITA-81) Se os três lados de um triângulo estão em progressão geométrica, então a razão desta progressão está compreendida necessariamente entre os valores:
a) \frac{1}{2}(\sqrt{5}-1) e \frac{1}{2}(\sqrt{5}+1)
b) \frac{1}{2}(\sqrt{4}-1) e \frac{1}{2}(\sqrt{4}+1)
c) \frac{1}{2}(\sqrt{3}-1) e \frac{1}{2}(\sqrt{3}+1)
d) \frac{1}{2}(\sqrt{2}-1) e \frac{1}{2}(\sqrt{2}+1)

Passo 1

O enunciado diz que os lados de um triângulo formam uma progressão geométrica de razão r>0. Vamos chamar os lados de a, ar e ar^2. Para que três segmentos formem um triângulo, devem satisfazer as desigualdades de triângulo (soma de dois lados maior que o terceiro).

Passo 2

Aplicamos a desigualdade
\;a + ar > ar^2.
Dividindo por a>0, obtemos
1 + r > r^2
ou seja
r^2 - r - 1 < 0.

Passo 3

A equação r^2 - r - 1 = 0 tem raízes
r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.
Como um polinômio quadrático é negativo entre suas raízes, concluímos
\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < r < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.

Passo 4

Além disso, a desigualdade
\;ar + ar^2 > a
leva a
r + r^2 > 1 \quad\Longrightarrow\quad r^2 + r - 1 > 0,
o que, para r>0, implica
r > \frac{\sqrt{5}-1}{2}.
Juntando isso com r>0 e com a faixa obtida no Passo 3, restam
\frac{\sqrt{5}-1}{2} < r < \frac{\sqrt{5}+1}{2}.

Resposta

a) \tfrac{1}{2}(\sqrt{5}-1) e \tfrac{1}{2}(\sqrt{5}+1)

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