(ITA-81) Se os três lados de um triângulo estão em progressão geométrica, então a razão desta progressão está compreendida necessariamente entre os valores:
a)
e
b)
e
c)
e
d)
e
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado diz que os lados de um triângulo formam uma progressão geométrica de razão
. Vamos chamar os lados de
,
e
. Para que três segmentos formem um triângulo, devem satisfazer as desigualdades de triângulo (soma de dois lados maior que o terceiro).
Passo 2
Aplicamos a desigualdade
.
Dividindo por , obtemos
Dividindo por
ou seja
Passo 3
A equação
tem raízes
Como um polinômio quadrático é negativo entre suas raízes, concluímos
Passo 4
Além disso, a desigualdade
leva a
leva a
o que, para
, implica
Juntando isso com
e com a faixa obtida no Passo 3, restam
Resposta
a)
e