(ITA-84) O valor de m, tal que \sum_{p=0}^{m}\binom{m}{p} 2^{p}=729, é:
a) 14
b) 9
c) 6
d) 7

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o inteiro m tal que
\sum_{p=0}^{m}\binom{m}{p}2^{p}=729.
O conteúdo principal aqui é o Teorema do Binômio de Newton, que fornece uma forma fechada para somas envolvendo \binom{m}{p}a^p b^{m-p}.

Passo 2

Pelo Teorema do Binômio, para quaisquer a e b vale
\sum_{p=0}^{m}\binom{m}{p}a^{p}b^{m-p} = (a+b)^{m}.

Passo 3

Escolhendo a=2 e b=1 obtemos
\sum_{p=0}^{m}\binom{m}{p}2^{p}1^{\,m-p} = (2+1)^{m},
logo
\sum_{p=0}^{m}\binom{m}{p}2^{p} = 3^{m}.

Passo 4

Devemos resolver
3^{m} = 729.
Como 729 = 3^{6}, concluímos que
m = 6.

Resposta

6

Exercícios de Livros Relacionados