Scja ABCDEF um hexágono regular. Demonstrar que: i) As diagonais AC e AE cortam trés partes iguais a diagonal \mathrm{BF} ; \mathrm{BF} \perp \mathrm{BC}.

Passo 1

O enunciado diz que ABCDEF é um hexágono regular e pede para mostrar duas coisas:
  1. Que a diagonal \overline{BF} é perpendicular ao lado \overline{BC}.
  2. Que as diagonais \overline{AC} e \overline{AE} partilham \overline{BF} em três segmentos de comprimentos iguais.
    Para resolver, vamos usar coordenadas cartesianas, atribuindo coordenadas simples aos vértices e depois trabalhar com vetores e parâmetros de reta.

Passo 2

Escolhemos o hexágono de lado 1 com um vértice em A=(1,0) e os seguintes vértices, seguindo sentido anti-horário:
A = \bigl(1,0\bigr),\quad B = \Bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),\quad C = \Bigl(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),
D = (-1,0),\quad E = \Bigl(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),\quad F = \Bigl(\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr).
Com isso, todas as distâncias entre vértices adjacentes são 1.

Passo 3

Para mostrar que \overline{BF}\perp\overline{BC}, calculamos os vetores
\vec{BF} = F - B = \Bigl(0,\,-\sqrt3\Bigr), \quad \vec{BC} = C - B = \Bigl(-1,\,0\Bigr).
O produto escalar é
\vec{BF}\cdot\vec{BC} = 0\cdot(-1)+(-\sqrt3)\cdot0 = 0,
logo \overline{BF} é perpendicular a \overline{BC}.

Passo 4

Agora, achamos a interseção P de \overline{AC} com \overline{BF}.
Parametrizamos:
\text{reta }AC:\quad A + t\,(C-A) = \bigl(1,0\bigr) + t\Bigl(-\tfrac32,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),
\text{reta }BF:\quad B + u\,(F-B) = \Bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr) + u\Bigl(0,-\sqrt3\Bigr).
Igualando a coordenada x para encontrar o ponto comum:
1 - \tfrac32\,t = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac32\,t = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad t = \tfrac13.
Substituindo em BF para achar u:
x=\tfrac12\implies \text{na reta }BF:\quad x=\tfrac12\text{ (já ok)},\quad y=\tfrac{\sqrt3}{2}+u(-\sqrt3)=\tfrac{\sqrt3}{6}á
\tfrac{\sqrt3}{2}(1-2u)=\tfrac{\sqrt3}{6} \quad\Longrightarrow\quad 1-2u=\tfrac13 \quad\Longrightarrow\quad u=\tfrac13.
Ou seja, P corresponde a u=\tfrac13 em \overline{BF}.

Passo 5

Análogo para a interseção Q de \overline{AE} com \overline{BF}.
Parametrizamos:
\text{reta }AE:\quad A + s\,(E-A) = \bigl(1,0\bigr) + s\Bigl(-\tfrac32,-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr).
Igualando a coordenada x:
1 - \tfrac32\,s = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad s = \tfrac13.
Na reta BF isso dá
\tfrac{\sqrt3}{2}(1-2u') = -\tfrac{\sqrt3}{6} \quad\Longrightarrow\quad 1-2u'=-\tfrac13 \quad\Longrightarrow\quad u'=\tfrac23.
Logo, Q corresponde a u'=\tfrac23 em \overline{BF}.

Passo 6

Vimos que \overline{AC} intersecta \overline{BF} em u=\tfrac13 e \overline{AE} em u'=\tfrac23. Como u mede a fração do segmento \overline{BF} contado desde B, esses valores mostram exatamente que \overline{AC} e \overline{AE} dividem \overline{BF} em três partes congruentes.

Resposta

As retas \overline{AC} e \overline{AE} partilham \overline{BF} em três segmentos de iguais comprimentos, e \overline{BF}\perp\overline{BC}.

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