Scja ABCDEF um hexágono regular. Demonstrar que: i) As diagonais AC e AE cortam trés partes iguais a diagonal \mathrm{BF} ; \mathrm{BF} \perp \mathrm{BC}.
Passo 1
O enunciado diz que ABCDEF é um hexágono regular e pede para mostrar duas coisas:
Que a diagonal \overline{BF} é perpendicular ao lado \overline{BC}.
Que as diagonais \overline{AC} e \overline{AE} partilham \overline{BF} em três segmentos de comprimentos iguais.
Para resolver, vamos usar coordenadas cartesianas, atribuindo coordenadas simples aos vértices e depois trabalhar com vetores e parâmetros de reta.
Passo 2
Escolhemos o hexágono de lado 1 com um vértice em A=(1,0) e os seguintes vértices, seguindo sentido anti-horário:
A = \bigl(1,0\bigr),\quad B = \Bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),\quad C = \Bigl(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),
D = (-1,0),\quad E = \Bigl(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),\quad F = \Bigl(\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr).
Com isso, todas as distâncias entre vértices adjacentes são 1.
Passo 3
Para mostrar que \overline{BF}\perp\overline{BC}, calculamos os vetores
\vec{BF} = F - B = \Bigl(0,\,-\sqrt3\Bigr), \quad \vec{BC} = C - B = \Bigl(-1,\,0\Bigr).
Logo, Q corresponde a u'=\tfrac23 em \overline{BF}.
Passo 6
Vimos que \overline{AC} intersecta \overline{BF} em u=\tfrac13 e \overline{AE} em u'=\tfrac23. Como u mede a fração do segmento \overline{BF} contado desde B, esses valores mostram exatamente que \overline{AC} e \overline{AE} dividem \overline{BF} em três partes congruentes.
Resposta
As retas \overline{AC} e \overline{AE} partilham \overline{BF} em três segmentos de iguais comprimentos, e \overline{BF}\perp\overline{BC}.
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 2 - 3ª Edição - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 59