Um jardineiro tem que regar 60 roseiras plantadas ao longo de uma vereda retilínea e distando 1 m uma da outra. Ele enche seu regador numa fonte situada na mesma vereda, a 15 m da primeira roseira, e a cada viagem rega 3 roseiras. Começando e terminando na fonte, qual é o percurso total que ele terá que caminhar até regar todas as roseiras?

Passo 1

O enunciado diz que temos 60 roseiras alinhadas numa vereda retilínea, cada par de roseiras vizinhas dista 1,m. A fonte fica a 15,m antes da primeira roseira. O jardineiro pode regar no máximo 3 roseiras por viagem, sempre saindo e retornando à fonte. Precisamos minimizar o percurso total de todas as viagens.

Passo 2

Vamos numerar as roseiras de 1 a 60. A posição da roseira k em relação à fonte (tomada como x=0) é
xk = 15 + (k-1)times 1 = 14 + k
Numa viagem em que ele rega as roseiras i, i+1 e i+2, o jardineiro precisa caminhar até a mais afastada, que é a roseira i+2, e então voltar. O percurso dessa viagem é
2,xi+2

Passo 3

Para minimizar a soma das distâncias até as roseiras mais afastadas em cada viagem, o ideal é agrupar três roseiras consecutivas em cada viagem. Como há 60 roseiras e vai regar 3 por viagem, são 20 viagens. Na j-ésima viagem ele rega as roseiras de índice 3j-2 a 3j, cuja mais distante é a de índice 3j. Sua posição é
x3j = 14 + (3j)
O percurso dessa viagem é
2,x3j = 2,(14 + 3j)
Somando sobre j=1,2,dots,20, o total percorrido é
sumj=1^202,(14 + 3j) ;=;2l(20cdot 14 + 3sumj=1^20jr) ;=;2l(280 + 3cdot210r) ;=;2cdot910 ;=;1820

Resposta

O percurso total mínimo que o jardineiro precisará caminhar é 1820,m.

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