Justifique as seguintes regras:
(m, a1 a2 ldots ar) cdot(0,00 ldots 01)=0,00 ldots 0 m a1 a2 ldots ar, onde o número de zeros no segundo membro é igual ao número de zeros do se: gundo fator do primeiro membro.

Passo 1

O enunciado pede para justificar que, ao multiplicar o número decimal
(m,a1a2ldots ar)
pelo fator
(0,00ldots01)
(com exatamente n zeros entre a vírgula e o algarismo 1), obtemos
0,underbrace00ldots0n,m,a1a2ldots ar
O conteúdo envolvido é a numeração posicional em base 10 e o efeito de multiplicar por potências de 10.

Passo 2

Vamos chamar
x = (m,a1a2ldots ar)
e escrever x em forma expandida na base 10:
x = m + a110 + a210^2 + cdots + ar10^r

Passo 3

O segundo fator é
y = 0,underbrace00ldots0n1
Em termos de potências de 10, isso equivale a
y = 10^-(n+1),
pois o 1 está na casa decimal de ordem n+1.

Passo 4

Multiplicamos x por y:
x cdot y = l(m + sumi=1^rai10^ir)cdot 10^-(n+1) = m,10^-(n+1) + sumi=1^rai,10^-(n+1+i)

Passo 5

Interpretando cada termo como dígito na expansão decimal:
  • m,10^-(n+1) coloca o algarismo m na posição decimal de ordem n+1,
  • a1,10^-(n+2) coloca a1 na ordem n+2, e assim por diante até ar.
    Logo a representação decimal fica
0,underbrace00ldots0n,m,a1a2ldots ar

Resposta

A multiplicação por underbrace0,00ldots01n=10^-(n+1) desloca a vírgula decimal de (m,a1ldots ar) em n+1 casas, de modo que surgem n zeros antes de m, resultando em
0,underbrace00ldots0n,m,a1a2ldots ar

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