Justifique as seguintes regras: , onde o número de zeros no segundo membro é igual ao número de zeros do se: gundo fator do primeiro membro.
Passo 1
O enunciado pede para justificar que, ao multiplicar o número decimal
pelo fator
(com exatamente zeros entre a vírgula e o algarismo ), obtemos
O conteúdo envolvido é a numeração posicional em base 10 e o efeito de multiplicar por potências de 10.
Passo 2
Vamos chamar
x = (m,a1a2ldots ar)
e escrever x em forma expandida na base 10:
x = m + a110 + a210^2 + cdots + ar10^r
Passo 3
O segundo fator é
y = 0,underbrace00ldots0n1
Em termos de potências de 10, isso equivale a
y = 10^-(n+1),
pois o 1 está na casa decimal de ordem n+1.
Passo 4
Multiplicamos x por y:
x cdot y = l(m + sumi=1^rai10^ir)cdot 10^-(n+1) = m,10^-(n+1) + sumi=1^rai,10^-(n+1+i)
Passo 5
Interpretando cada termo como dígito na expansão decimal:
m,10^-(n+1) coloca o algarismo m na posição decimal de ordem n+1,
a1,10^-(n+2) coloca a1 na ordem n+2, e assim por diante até ar.
Logo a representação decimal fica
0,underbrace00ldots0n,m,a1a2ldots ar
Resposta
A multiplicação por underbrace0,00ldots01n=10^-(n+1) desloca a vírgula decimal de (m,a1ldots ar) em n+1 casas, de modo que surgem n zeros antes de m, resultando em
0,underbrace00ldots0n,m,a1a2ldots ar
Cálculo - Hygino Domingues - Fundamentos de Aritmética - 1ª Edição - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 413.a