Do mesmo lado de uma reta são traçados três círculos tangentes à reta e tangentes entre si dois a dois. Sabendo que dois deles têm raio igual a 16, calcule o raio do terceiro.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos três círculos acima da mesma reta, todos tangentes à reta e dois a dois entre si. Dois têm raio igual a
e queremos achar o raio do terceiro. O conteúdo é geometria de círculos tangentes e usaremos coordenadas para modelar as distâncias entre centros.
Passo 2
Escolhemos a reta como o eixo
em
. Então cada círculo de raio
tem centro em
, pois está a distância
da reta.
Passo 3
Para dois círculos de raios
e
serem tangentes externamente vale
que simplifica para
Passo 4
Denotemos
,
e
o raio desconhecido. Ordenando os centros sobre o eixo
como 1, 3 e 2, temos
e também
Somando as duas primeiras igual à terceira dá
Dividindo por
e substituindo
resulta em
Passo 5
Da equação acima segue
logo
e
Resposta
O raio do terceiro círculo é
.