Do mesmo lado de uma reta são traçados três círculos tangentes à reta e tangentes entre si dois a dois. Sabendo que dois deles têm raio igual a 16, calcule o raio do terceiro.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos três círculos acima da mesma reta, todos tangentes à reta e dois a dois entre si. Dois têm raio igual a 16 e queremos achar o raio do terceiro. O conteúdo é geometria de círculos tangentes e usaremos coordenadas para modelar as distâncias entre centros.

Passo 2

Escolhemos a reta como o eixo x em y=0. Então cada círculo de raio ri tem centro em (xi,ri), pois está a distância ri da reta.

Passo 3

Para dois círculos de raios ri e rj serem tangentes externamente vale
(xi - xj)^2 + (ri - rj)^2 = (ri + rj)^2,
que simplifica para
|xi - xj| = 2raizri,rj

Passo 4

Denotemos r1 = 16, r2 = 16 e r3 o raio desconhecido. Ordenando os centros sobre o eixo x como 1, 3 e 2, temos
x3 - x1 = 2raizr1,r3, x2 - x3 = 2raizr2,r3,
e também
x2 - x1 = 2raizr1,r2
Somando as duas primeiras igual à terceira dá
2raizr1,r2 = 2raizr1,r3 + 2raizr2,r3
Dividindo por 2 e substituindo r1=r2=16 resulta em
raiz16cdot16 = raiz16,r3 + raiz16,r3

Passo 5

Da equação acima segue
16 = 2raiz16,r3 = 8raizr3,
logo raizr3=2 e
r3 = 4

Resposta

O raio do terceiro círculo é 4.

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