Em um quadrado ABCD tomamos um ponto E , sobre o lado , tal que , e o ponto O , médio de . Sendo perpendicular a , em que P é o pé da perpendicular tomado sobre , prove que:

Passo 1

Vamos colocar o quadrado em um sistema de coordenadas para facilitar a demonstração. Seja o quadrado ABCD de lado s com
A=(0,0), B=(s,0), C=(s,s), D=(0,s)
O ponto E está em AD com ,AE=tfrac14 AD, logo
E=l(0,tfracs4r),
e O é o ponto médio de AB, logo
O=l(tfrac s2,0r)
Denotemos por P o pé da perpendicular de O sobre a reta CE. Queremos provar
l(OPr)^2 = l(EPr),l(CPr)

Passo 2

A reta CE tem equação
y-tfracs4=tfrac3s4s,(x-0) Longrightarrow y=tfrac34x+tfracs4
A reta perpendicular a CE passando por Ol(tfrac s2,0r) tem coeficiente angular -tfrac43, logo sua equação é
y = -tfrac43l(x-tfrac s2r)
Intersecção dessas duas retas dá o ponto P. Igualando
tfrac34x+tfracs4 ;=;- tfrac43x + tfrac43,tfrac s2
e multiplicando por 12 obtemos
9x+3s = -16x +8s ;Longrightarrow; 25x=5s ;Longrightarrow; x=tfracs5
Então
y=tfrac34,tfracs5+tfracs4 =tfrac3s20+tfrac5s20 =tfrac8s20=tfrac2s5
Portanto
P=l(tfracs5,,tfrac2s5r)

Passo 3

Calculamos agora cada distância:
OP^2 =l(tfrac s2-tfrac s5r)^2 +l(0-tfrac2s5r)^2 =l(tfrac3s10r)^2 +l(-tfrac2s5r)^2 =9s^2100+4s^225 =9s^2100+16s^2100 =25s^2100 =s^24
EP=raizl(tfrac s5-0r)^2 +l(tfrac2s5-tfracs4r)^2 =raizs^225+l(8s-5s20r)^2 =raizs^225+9s^2400 =raiz16s^2+9s^2400 =5s20 =s4
CP=raizl(s-tfrac s5r)^2 +l(s-tfrac2s5r)^2 =raizl(tfrac4s5r)^2 +l(tfrac3s5r)^2 =raiz16s^225+9s^225 =raiz25s^225 =s

Passo 4

Multiplicando EP por CP temos
(EP),(CP)=s4times s=s^24,
que coincide exatamente com OP^2. Portanto está provado que
l(OPr)^2=(EP),(CP)

Resposta

l(OPr)^2=(EP),(CP)

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