0 segmento AB tem suas extremidade A e B como pontos de tangência às circunferências de centros O1 e O2. Sendo 15 cm e 3 cm os raios dessas circunferências, respectivamente, e 24 cm a distância entre seus centros, determine o segmento AB.

Passo 1

O enunciado dá duas circunferências de centros O1 e O2 com raios
r1=15 cm, r2=3 cm
e distância entre os centros
d = O1O2 = 24 cm
O segmento AB é o segmento de reta comum tangente às duas circunferências, tocando a primeira em A e a segunda em B. Para calculá-lo, vamos usar um triângulo retângulo formado pelas projeções dos centros sobre a reta tangente.

Passo 2

Desenhe a reta tangente que toca a circunferência em A (ponto de tangência com raio O1A) e em B (ponto de tangência com raio O2B). Como todo raio é perpendicular à tangente no ponto de tangência, temos
O1Aperp AB e O2Bperp AB,
e portanto O1A e O2B são segmentos paralelos, de comprimentos r1 e r2 respectivamente.

Passo 3

Se traçarmos o segmento O1O2, ele forma com o segmento AB um “triângulo” retângulo cujos catetos são
l|O1A - O2Br| = l|r1-r2r| e AB,
e cuja hipotenusa é O1O2=d. Logo, por Pitágoras,
d^2 = l(r1-r2r)^2 + AB^2

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
24^2 = (15 - 3)^2 + AB^2 ;Longrightarrow; 576 = 12^2 + AB^2 ;Longrightarrow; 576 = 144 + AB^2 ;Longrightarrow; AB^2 = 432

Passo 5

Extraindo raiz e simplificando o radical:
AB = raiz432 = raiz144cdot3 = 12raiz3

Resposta

AB = 12raiz3 cm

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