Os lados de um triângulo ABC são três números inteiros consecutivos. Determine as alturas relativas a esses lados, sabendo que o número que mede a área é o dobro do que mede o perímetro do triângulo.

Passo 1

O enunciado diz que os três lados de um triângulo ABC são três inteiros consecutivos e que sua área é o dobro do perímetro.
Conteúdo: vamos usar a fórmula de Heron para a área e a relação entre área e altura
ha=2Aa
para obter as alturas relativas a cada lado.

Passo 2

Sejam os lados
a=n, b=n+1, c=n+2,
com n>1 para satisfazer a desigualdade triangular.
O perímetro é
P = a+b+c = 3n+3 = 3(n+1),
e a condição do enunciado é
A = 2P = 6(n+1)

Passo 3

Aplicando Heron, o semiperímetro é
s = a+b+c2 = 3n+32
Então
A = raizs,(s-n),(s-(n+1)),(s-(n+2))
Calculando cada termo:
s-n = n+32, s-(n+1)=n+12, s-(n+2)=n-12
Logo
A = raiz3n+32cdotn+32cdotn+12cdotn-12 = 14,(n+1)raiz3,(n^2+2n-3)
Igualando à expressão de A do passo anterior:
n+14raiz3(n^2+2n-3) = 6(n+1) ;Longrightarrow; raiz3(n^2+2n-3) = 24 ;Longrightarrow; 3(n^2+2n-3)=576 ;Longrightarrow; n^2+2n-195=0
Resolvendo, obtemos n=13 (descartamos a raiz negativa).

Passo 4

Portanto os lados são
13,;14,;15
e a área vale
A = 6(n+1) = 6cdot14 = 84

Passo 5

As alturas relativas a cada lado a vêm de
ha = 2Aa
Para a=13:
h13 = 2cdot8413 = 16813
Para b=14:
h14 = 16814 = 12
Para c=15:
h15 = 16815 = 565

Resposta

Alturas relativas aos lados de comprimentos 13, 14 e 15 são, respectivamente,
16813, 12, 565

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