Os lados de um triângulo ABC são três números inteiros consecutivos. Determine as alturas relativas a esses lados, sabendo que o número que mede a área é o dobro do que mede o perímetro do triângulo.
Passo 1
O enunciado diz que os três lados de um triângulo
são três inteiros consecutivos e que sua área é o dobro do perímetro.
Conteúdo: vamos usar a fórmula de Heron para a área e a relação entre área e altura
Conteúdo: vamos usar a fórmula de Heron para a área e a relação entre área e altura
para obter as alturas relativas a cada lado.
Passo 2
Sejam os lados
com
para satisfazer a desigualdade triangular.
O perímetro é
O perímetro é
e a condição do enunciado é
Passo 3
Aplicando Heron, o semiperímetro é
Então
Calculando cada termo:
Logo
Igualando à expressão de
do passo anterior:
Resolvendo, obtemos
(descartamos a raiz negativa).
Passo 4
Portanto os lados são
e a área vale
Passo 5
As alturas relativas a cada lado
vêm de
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
Alturas relativas aos lados de comprimentos
,
e
são, respectivamente,