Os lados de um triângulo retângulo apresentam medidas em P.G. Calcule a razão da P.G.

Passo 1

O enunciado diz que os três lados de um triângulo retângulo estão em progressão geométrica (P.G.) e pede a razão dessa P.G. Para resolver vamos usar:
  • Definição de P.G. (termos do tipo a,ar,ar^2)
  • Teorema de Pitágoras (soma dos quadrados dos catetos igual ao quadrado da hipotenusa)

Passo 2

Vamos chamar os lados, em ordem crescente, de
a,;ar,;ar^2
Como ar^2 é o maior, ele é a hipotenusa. Pelos catetos a e ar, o Teorema de Pitágoras dá
a^2 + (ar)^2 = (ar^2)^2

Passo 3

Expandindo e simplificando (dividindo tudo por a^2), obtemos
1 + r^2 = r^4
que é a equação em r que precisamos resolver.

Passo 4

Faça a troca t = r^2. A equação vira
t^2 - t - 1 = 0
As raízes dessa equação são
t = 1 pm raiz1 + 42 = 1 pm raiz52
Como queremos r>1 (razão de P.G. crescente), escolhemos
t = 1 + raiz52

Passo 5

Volta para r:
r = raizt = raiz1 + raiz52

Resposta

r = raiz1 + raiz52

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