A superfície de um triângulo retângulo é 120 cm^2 e sua hipotenusa vale a cm. Determine os catetos e o menor valor que a pode tomar.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um triângulo retângulo de área 120,cm^{2} e hipotenusa de comprimento a cm. Queremos encontrar as medidas dos catetos em função de a e o menor valor que a pode assumir.
Conteúdo: usaremos as relações
(i) tfrac12,b,c=120Longrightarrow b,c=240,
(ii) b^2+c^2=a^2
onde b e c são os catetos.

Passo 2

Definimos
S = b + c, P = b,c = 240
Da relação b^2+c^2=a^2 temos
(b+c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc = a^2 + 2cdot240 = a^2 + 480,
logo
S = raiza^2 + 480

Passo 3

Para obtermos b e c isoladamente, usamos também
(b-c)^2 = b^2 + c^2 -2bc = a^2 - 480,
ou seja
|,b-c,| = raiza^2 - 480
Assumindo b>= c, temos
b = S + raiza^2 - 4802 = raiza^2+480 + raiza^2-4802,
c = S - raiza^2 - 4802 = raiza^2+480 - raiza^2-4802

Passo 4

Para que as quantidades acima sejam reais é preciso
a^2 - 480 >= 0 Longrightarrow a >= raiz480 = 4raiz30
Portanto o menor valor admissível para a é
amin = 4raiz30,cm

Resposta

Os catetos são
b = raiza^2+480 + raiza^2-4802, c = raiza^2+480 - raiza^2-4802,
e o menor valor de a é
boxed4raiz30,cm

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