Lauro e Luís são irmãos e moram em casas situadas em terrenos vizinhos, às quais se chega seguindo estradas retas que partem de um mesmo entroncamento de uma
rodovia. Se a estrada que leva à casa de Lauro tem 642 m de comprimento, a estrada até a casa de Luís tem 827 m e as duas estradas fazem um ângulo de 49^circ, qual distância separa as casas dos irmãos? Dica: faça um desenho que represente o problema.

Passo 1

O enunciado descreve duas estradas que partem de um mesmo entroncamento até as casas de Lauro e Luís, medindo 642,m e 827,m, com ângulo de 49^circ entre elas. Queremos achar a distância entre as duas casas. O conteúdo usado será o Teorema dos Cossenos, que relaciona os três lados de um triângulo e o ângulo entre dois deles.

Passo 2

Vamos modelar a situação por um triângulo ABC, onde A é o entroncamento, B é a casa de Lauro e C é a casa de Luís. Assim:
AB = 642 m, AC = 827 m, ang<= BAC = 49^circ,
e queremos calcular BC.

Passo 3

Pelo Teorema dos Cossenos, para o lado BC (que chamaremos de c) vale:
c^2 = AB^2 + AC^2 - 2cdot AB cdot AC ,cos(ang<= BAC)

Passo 4

Substituindo os valores:
c^2 = 642^2 + 827^2 - 2 times 642 times 827 times cosl(49^circr)
Calculando passo a passo:
642^2 = 412164, 827^2 = 683929,
2cdot 642cdot 827 approx 1061868, cos(49^circ)approx 0,6561,
2cdot642cdot827cdotcos(49^circ)approx 1061868times0,6561approx696691,6,
c^2 approx 412164 + 683929 - 696691,6 = 399401,4

Passo 5

Extraindo a raiz quadrada,
c = raiz399401,4approx 632,0 m

Resposta

A distância entre as casas dos irmãos é aproximadamente 632,m.

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