Usando a lei dos senos, tente determinar os lados e ângulos desconhecidos dos triângulos associados aos dados abaixo. Se existirem duas solucóes, forneca ambas. Dica: esboce os triângulos.
c=13 cm, a=16 cm, C=45^circ

Passo 1

O enunciado dá um triângulo qualquer com
c=13:cm, a=16:cm e hat C=45^circ,
e pede os outros dois ângulos hat A,hat B e o lado b.
Como temos o caso SSA (dois lados e o ângulo oposto a um deles), vamos usar a lei dos senos e verificar a possibilidade de duas soluções (caso ambíguo).

Passo 2

Pela lei dos senos vale
sinhat Aa ;=;sinhat Cc
logo
sinhat A ;=;ac,sinhat C ;=;1613,sin45^circ ;=;1613,raiz22 ;=;8raiz213 ;approx;0,8703

Passo 3

Como 0<sinhat A<1, o arco-seno gera duas soluções possíveis:
hat A1 = arcsin(0,8703)approx 60,51^circ, hat A2 = 180^circ - 60,51^circ = 119,49^circ

Passo 4

Em cada caso calculamos hat B pelo fato de a soma dos ângulos internos ser 180^circ:
hat B1 = 180^circ - hat A1 - hat C =180^circ - 60,51^circ - 45^circ approx 74,49^circ,
hat B2 = 180^circ - hat A2 - hat C =180^circ - 119,49^circ - 45^circ approx 15,51^circ

Passo 5

Para cada triângulo, o lado b sai de
bsinhat B = csinhat C ;Longrightarrow; b = c,sinhat Bsinhat C
Assim:
b1 = 13;sin74,49^circsin45^circ approx 13;0,96400,7071 approx 17,72:cm,
b2 = 13;sin15,51^circsin45^circ approx 13;0,26730,7071 approx 4,91:cm

Resposta

Triângulo 1:
hat Aapprox60,51^circ,;hat Bapprox74,49^circ,;bapprox17,72:cm
Triângulo 2:
hat Aapprox119,49^circ,;hat Bapprox15,51^circ,;bapprox4,91:cm

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