5.2.20 Mostre como combinar \zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-2} com \alpha_{1} e \alpha_{2} para obter uma série que converge como n^{-4}.
Nota: \zeta(2) é conhecida: \zeta(2)=\pi^{2} / 6 (veja a Seção 5.9).

Passo 1

O enunciado pede para acelerar a convergência da série
\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^{2}}
usando os dois primeiros coeficientes da fórmula de Euler–Maclaurin, denotados por \alpha_{1} e \alpha_{2}. O objetivo é achar uma expressão equivalente a \zeta(2) cujos termos gerais decaiam como n^{-4}. Para isso vamos (i) aplicar Euler–Maclaurin a f(x)=x^{-2} para obter uma expansão assintótica de soma parcial, (ii) escolher \alpha_{1},\alpha_{2} para cancelar os termos de ordem n^{-1},n^{-2},n^{-3} e (iii) reescrever o resultado numa forma de série telescópica cuja sobra seja O(n^{-4}).

Passo 2

Recordando o enunciado da fórmula de Euler–Maclaurin até o termo \alpha_{2}, para f(x)=x^{-2} temos
\sum_{k=1}^{n}f(k) =\int_{1}^{n}x^{-2}\,dx \;+\;\frac{f(1)+f(n)}2 \;+\;\alpha_{1}\bigl(f'(n)-f'(1)\bigr) \;+\;R
onde \alpha_{1}=\tfrac1{12} é o coeficiente do termo de primeira derivada e omitimos aí termos de ordem superior (o resto R é O(n^{-5})).

Passo 3

Calculemos cada parcela para f(x)=x^{-2}:
\int_{1}^{n}x^{-2}\,dx =\Bigl[-\,x^{-1}\Bigr]_{1}^{n} =1-\frac1n,
\frac{f(1)+f(n)}2 =\frac{1+1/n^{2}}2, \qquad f'(x)=-2x^{-3} \quad\Rightarrow\quad f'(n)-f'(1)=-\frac{2}{n^{3}}+2.
Logo
\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^{2}} =1-\frac1n +\frac{1+1/n^{2}}2 +\frac1{12}\Bigl(-\frac{2}{n^{3}}+2\Bigr) +O\bigl(n^{-5}\bigr).
Reunindo constantes para identificar \zeta(2), sabemos que
\zeta(2)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}k^{-2},
então a expansão assintótica é
\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^{2}} =\zeta(2) -\frac1n +\frac1{2n^{2}} -\frac1{6n^{3}} +O\bigl(n^{-5}\bigr).

Passo 4

Para eliminar os três termos de ordem n^{-1},n^{-2},n^{-3} na aproximação de \zeta(2), introduzimos a correção telescópica termo a termo. Note que
\frac1n,\; \frac1{2n^{2}},\; \frac1{6n^{3}}
são exatamente \int_{n}^{n+1}x^{-2}dx, \tfrac12[f(n)-f(n+1)] e \tfrac1{12}[f'(n)-f'(n+1)] até constantes. Assim escrevemos
\zeta(2) =\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^{2}} +\frac1n +\frac1{2n^{2}} -\frac1{6n^{3}} +O\bigl(n^{-5}\bigr).
Reescrevendo a soma infinita, trocamos cada termo de cauda por uma diferença telescópica entre k e k+1.

Passo 5

Definimos o termo geral telescópico
b_{k} =\frac1{k^{2}} +\underbrace{\Bigl(\frac1{k}-\frac1{k+1}\Bigr)}_{\displaystyle\int_{k}^{k+1}x^{-2}dx} +\underbrace{\frac12\Bigl(\frac1{k^{2}}-\frac1{(k+1)^{2}}\Bigr)}_{\displaystyle \alpha_{1}\bigl(f(k)-f(k+1)\bigr)} +\underbrace{\frac1{6}\Bigl(\frac1{k^{3}}-\frac1{(k+1)^{3}}\Bigr)}_{\displaystyle \alpha_{2}\bigl(f'(k)-f'(k+1)\bigr)},
onde identificamos \alpha_{1}=\tfrac12 e \alpha_{2}=\tfrac16 (essas escolhas são equivalentes às da fórmula acima).

Passo 6

Note que em b_{k} os termos de ordem k^{-1},k^{-2},k^{-3} cancelam entre o pedaço \sum k^{-2} e as diferenças telescópicas; resta um comportamento à ordem k^{-4}. Mais precisamente, expandindo em Taylor vê-se
b_{k}=O\bigl(k^{-4}\bigr).
Além disso, ao somar b_{k} de k=1 até \infty, os termos dentro dos parênteses telescopam, sobrando apenas a soma original mais os valores iniciais que se ajustam exatamente a \zeta(2).

Resposta

Uma fórmula conveniente é
\boxed{ \zeta(2) =\sum_{k=1}^{\infty} \Bigl[ \frac1{k^{2}} +\Bigl(\frac1{k}-\frac1{k+1}\Bigr) +\tfrac12\Bigl(\frac1{k^{2}}-\frac1{(k+1)^{2}}\Bigr) +\tfrac16\Bigl(\frac1{k^{3}}-\frac1{(k+1)^{3}}\Bigr) \Bigr], }
cujo termo geral decai como k^{-4}.

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