5.2.20 Mostre como combinar \zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-2} com \alpha_{1} e \alpha_{2} para obter uma série que converge como n^{-4}.
Nota: \zeta(2) é conhecida: \zeta(2)=\pi^{2} / 6 (veja a Seção 5.9).
Passo 1
O enunciado pede para acelerar a convergência da série
\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^{2}}
usando os dois primeiros coeficientes da fórmula de Euler–Maclaurin, denotados por \alpha_{1} e \alpha_{2}. O objetivo é achar uma expressão equivalente a \zeta(2) cujos termos gerais decaiam como n^{-4}. Para isso vamos (i) aplicar Euler–Maclaurin a f(x)=x^{-2} para obter uma expansão assintótica de soma parcial, (ii) escolher \alpha_{1},\alpha_{2} para cancelar os termos de ordem n^{-1},n^{-2},n^{-3} e (iii) reescrever o resultado numa forma de série telescópica cuja sobra seja O(n^{-4}).
Passo 2
Recordando o enunciado da fórmula de Euler–Maclaurin até o termo \alpha_{2}, para f(x)=x^{-2} temos
onde identificamos \alpha_{1}=\tfrac12 e \alpha_{2}=\tfrac16 (essas escolhas são equivalentes às da fórmula acima).
Passo 6
Note que em b_{k} os termos de ordem k^{-1},k^{-2},k^{-3} cancelam entre o pedaço \sum k^{-2} e as diferenças telescópicas; resta um comportamento à ordem k^{-4}. Mais precisamente, expandindo em Taylor vê-se
b_{k}=O\bigl(k^{-4}\bigr).
Além disso, ao somar b_{k} de k=1 até \infty, os termos dentro dos parênteses telescopam, sobrando apenas a soma original mais os valores iniciais que se ajustam exatamente a \zeta(2).