5.2.3 Mostre que o teste completo da razão de d’Alembert resulta diretamente do teste de Kummer com
.
Passo 1
O enunciado quer que a gente mostre que o teste completo da razão de d’Alembert é um caso particular do teste de Kummer quando tomamos
para todo
. O conteúdo aqui envolve séries de termos positivos
e dois critérios de convergência/divergência: o de Kummer (mais geral) e o de d’Alembert (razão).
Passo 2
O teste de Kummer para uma série de termos positivos
diz o seguinte. Seja
uma sequência de positivos e defina, para todo
,
Passo 3
Agora fazemos a escolha especial
Então
Passo 4
Convergência pelo teste de Kummer com
. Se existe
e
tais que
então
Isto é precisamente o teste completo da razão: existe
(aqui
) tal que para
grande
, daí
converge.
Passo 5
Divergência pelo teste de Kummer com
. Note que
é a série harmônica, logo diverge. Se existe
e
tais que
então
Isto coincide com a condição de divergência do teste da razão: se para
grande
, então
diverge.
Resposta
Mostramos que, ao escolher
no teste de Kummer, as condições de convergência e de divergência se reduzem exatamente às do teste completo da razão de d’Alembert.