5.2.3 Mostre que o teste completo da razão de d’Alembert resulta diretamente do teste de Kummer com a_{i}=1.

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre que o teste completo da razão de d’Alembert é um caso particular do teste de Kummer quando tomamos a_n=1 para todo n. O conteúdo aqui envolve séries de termos positivos \sum u_n e dois critérios de convergência/divergência: o de Kummer (mais geral) e o de d’Alembert (razão).

Passo 2

O teste de Kummer para uma série de termos positivos \sum u_n diz o seguinte. Seja (a_n)_{n\ge1} uma sequência de positivos e defina, para todo n,
\lambda_n \;=\; a_n\,\frac{u_n}{u_{n+1}}\;-\;a_{n+1}.
1. Se existir \delta>0 e N tais que \lambda_n\ge\delta para todo n\ge N, então \sum u_n converge.
2. Se existir \delta>0 e N tais que \lambda_n\le -\delta para todo n\ge N e ainda \sum 1/a_n diverge, então \sum u_n diverge.

Passo 3

Agora fazemos a escolha especial
a_n = 1\quad\text{para todo }n.
Então
\lambda_n =1\cdot\frac{u_n}{u_{n+1}} - 1 =\frac{u_n}{u_{n+1}} -1.

Passo 4

Convergência pelo teste de Kummer com a_n=1. Se existe \delta>0 e N tais que
\lambda_n \;=\;\frac{u_n}{u_{n+1}} -1 \;\ge\;\delta \quad\text{para }n\ge N,
então
\frac{u_n}{u_{n+1}}\;\ge\;1+\delta \quad\Longrightarrow\quad \frac{u_{n+1}}{u_n}\;\le\;\frac{1}{1+\delta} \;<\;1.
Isto é precisamente o teste completo da razão: existe r<1 (aqui r=1/(1+\delta)) tal que para n grande \,u_{n+1}/u_n\le r, daí \sum u_n converge.

Passo 5

Divergência pelo teste de Kummer com a_n=1. Note que \sum 1/a_n=\sum1 é a série harmônica, logo diverge. Se existe \delta>0 e N tais que
\lambda_n = \frac{u_n}{u_{n+1}}-1 \;\le\;-\,\delta \quad\text{para }n\ge N,
então
\frac{u_n}{u_{n+1}}\;\le\;1-\delta \quad\Longrightarrow\quad \frac{u_{n+1}}{u_n}\;\ge\;\frac{1}{1-\delta} \;>\;1.
Isto coincide com a condição de divergência do teste da razão: se para n grande \,u_{n+1}/u_n\ge R>1, então \sum u_n diverge.

Resposta

Mostramos que, ao escolher a_n=1 no teste de Kummer, as condições de convergência e de divergência se reduzem exatamente às do teste completo da razão de d’Alembert.

Exercícios de Livros Relacionados