Se lim n infty un=u, lim n infty vn=v, onde un, vn, u, v são vetores no plano, prove que
lim n infty(un+vn)=u+v

Passo 1

O enunciado trata de duas sequências de vetores un e vn em R^2 que convergem, respectivamente, para os vetores u e v. Queremos mostrar que a soma dessas sequências também converge para a soma dos limites, ou seja,\r
limntoinfty(un+vn)=u+v\r
Para isso, vamos usar a definição de limite de sequência em R^2 via norma e a desigualdade triangular.

Passo 2

Pela definição de limite em R^2, sabemos que:\r
limntoinftyun=u significa que, para todo varepsilon>0, existe N1 tal que, para todo n>= N1,\r
|un-u|<varepsilon2\r
De modo análogo, como limntoinftyvn=v, existe N2 tal que, para todo n>= N2,\r
|vn-v|<varepsilon2

Passo 3

Escolhendo N=maxN1,N2, para todo n>= N teremos simultaneamente\r
\r
Agora observe que\r
\r
e aplicando a desigualdade triangular para a norma:

Passo 4

\r
Isso mostra que, dado qualquer varepsilon>0, existe N tal que para todo n>= N vale\r
|(un+vn)-(u+v)|<varepsilon,\r
que é exatamente a definição de\r
limntoinfty(un+vn)=u+v

Resposta

limntoinfty(un+vn)=u+v

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