Se
, onde
são vetores no plano, prove que
Passo 1
O enunciado trata de duas sequências de vetores
e
em
que convergem, respectivamente, para os vetores
e
. Queremos mostrar que a soma dessas sequências também converge para a soma dos limites, ou seja,\r
Para isso, vamos usar a definição de limite de sequência em
via norma e a desigualdade triangular.
Passo 2
Pela definição de limite em
, sabemos que:\r
significa que, para todo
, existe
tal que, para todo
,\r
De modo análogo, como
, existe
tal que, para todo
,\r
Passo 3
Escolhendo
, para todo
teremos simultaneamente\r
\r
Agora observe que\r
\r
e aplicando a desigualdade triangular para a norma:
Passo 4
\r
Isso mostra que, dado qualquer
, existe
tal que para todo
vale\r
que é exatamente a definição de\r