Quais das seguintes sucessões convergem, quais divergem para infty ou -infty, quais divergem sem limite infinito?
n!n^n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = n!n^n,
que é uma sequência de termos positivos. O conteúdo é cálculo de limite de sequência e vamos usar o teste da razão para sequências positivas: se
L = limntoinftyan+1an<1,
então anto0.

Passo 2

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = (n+1)!(n+1)^,n+1n!n^n = (n+1),n^n(n+1)^,n+1 = n^n(n+1)^n = l(nn+1r)^!n

Passo 3

Agora avaliamos o limite dessa razão:
limntoinftyl(nn+1r)^!n = limntoinftyl(1-1n+1r)^!n = e^-1

Passo 4

Como e^-1<1, pelo teste da razão para sequências positivas concluímos que
an to 0

Resposta

A sequência n!/n^n converge e seu limite é 0.

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