Se lim n infty un=u, lim n infty vn=v, onde un, vn, u, v são vetores no plano, prove que
lim n infty(c un)=c u

Passo 1

O enunciado diz que limntoinftyun=u e limntoinftyvn=v, onde todos são vetores em R^2. Queremos mostrar que, para um escalar fixo c,
limntoinftyl(c,unr)=c,u
O conteúdo é limites de sequências em R^2, usando a norma euclidiana e propriedades de homogeneidade.

Passo 2

Por definição, limntoinftyun=u significa que, para todo varepsilon>0, existe N tal que, para todo n>= N,
|un-u|<varepsilon

Passo 3

Usamos a propriedade da norma em R^2: para qualquer escalar alpha e vetor x, vale
|alpha,x| = |alpha|,|x|
Logo, para nossa sequência,
|,c,un - c,u| = |c|,|un - u|

Passo 4

Dado um varepsilon>0, se cneq 0 defina de<a=varepsilon/|c|. Como untou, existe N tal que, para n>= N, |un-u|<de<a. Então, para n>= N,
|,c,un - c,u| =|c|,|un - u| <|c|,de<a =varepsilon
Se c=0 o resultado é trivial porque 0cdotun=0 para todo n.

Resposta

limntoinftyl(c,unr)=c,u

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