Quais das seguintes sucessões convergem, quais divergem para ou , quais divergem sem limite infinito?
Passo 1
O enunciado pede a classificação da sequência
Queremos saber se ela converge, diverge para ou para , ou diverge sem limite infinito. O conteúdo aqui é cálculo de limite de sequência real, usando identidade trigonométrica e o critério do confronto (teorema do sanduíche).
Passo 2
Usamos a identidade
Logo a sequência fica
Passo 3
Observe que para todo vale
E sabemos que
limntoinfty 1n^2 = 0
Passo 4
Pelo critério do confronto, como
-|1/n^2|<= an<= |1/n^2|
e ambos os limites de pm 1/n^2 são zero, concluímos que
limntoinftyan = 0
Resposta
A sequência converge e seu limite é 0.
Cálculo - Wilfred Kaplan - Calculo Avancado - Vol 2 - 1ª Edição - Capítulo 8.8.3 - Ex. 5.h