Quais das seguintes sucessões convergem, quais divergem para infty ou -infty, quais divergem sem limite infinito?
cos pi nn^2

Passo 1

O enunciado pede a classificação da sequência
an = cos(pi n)n^2
Queremos saber se ela converge, diverge para +infty ou para -infty, ou diverge sem limite infinito. O conteúdo aqui é cálculo de limite de sequência real, usando identidade trigonométrica e o critério do confronto (teorema do sanduíche).

Passo 2

Usamos a identidade
cos(pi n) = (-1)^n
Logo a sequência fica
an = (-1)^nn^2

Passo 3

Observe que para todo n>=1 vale
|an| = |(-1)^nn^2| = 1n^2
E sabemos que
limntoinfty 1n^2 = 0

Passo 4

Pelo critério do confronto, como
-|1/n^2|<= an<= |1/n^2|
e ambos os limites de pm 1/n^2 são zero, concluímos que
limntoinftyan = 0

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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