Se
, onde
são vetores no plano, prove que
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas sequências de vetores
e
em
que convergem, respectivamente, para
e
, e pede para mostrar que
O conteúdo aqui é a continuidade do produto interno em
. Vamos usar a definição de limite de sequência de vetores via coordenadas e as propriedades de limites de somas e produtos em
.
Passo 2
Escrevendo cada vetor pelas coordenadas,
Por definição de limite em
, isso significa
Passo 3
Recordando a fórmula do produto interno em
,
Passo 4
Em
vale o teorema de limites para produtos: se
e
, então
. Aplicando a cada coordenada, obtemos
Passo 5
Finalmente, pelo teorema de limites para soma de sequências em
,