Se lim n infty un=u, lim n infty vn=v, onde un, vn, u, v são vetores no plano, prove que
lim n infty(un cdot vn)=u cdot v.

Passo 1

O enunciado nos dá duas sequências de vetores un e vn em R^2 que convergem, respectivamente, para u e v, e pede para mostrar que
limntoinfty(uncdotvn)=ucdotv
O conteúdo aqui é a continuidade do produto interno em R^2. Vamos usar a definição de limite de sequência de vetores via coordenadas e as propriedades de limites de somas e produtos em R.

Passo 2

Escrevendo cada vetor pelas coordenadas,
un=(u^1n,u^2n)tou=(u^1,u^2), vn=(v^1n,v^2n)tov=(v^1,v^2)
Por definição de limite em R^2, isso significa
u^1nto u^1, u^2nto u^2, v^1nto v^1, v^2nto v^2 quando ntoinfty

Passo 3

Recordando a fórmula do produto interno em R^2,
uncdotvn = u^1n,v^1n + u^2n,v^2n

Passo 4

Em R vale o teorema de limites para produtos: se anto a e bnto b, então an bnto a b. Aplicando a cada coordenada, obtemos
limntoinftyu^1n v^1n = u^1 v^1, limntoinftyu^2n v^2n = u^2 v^2

Passo 5

Finalmente, pelo teorema de limites para soma de sequências em R,
limntoinfty(uncdotvn) =limntoinftyl(u^1n v^1n + u^2n v^2nr) =limntoinftyu^1n v^1n +limntoinftyu^2n v^2n = u^1 v^1 + u^2 v^2 =ucdotv

Resposta

limntoinfty(uncdotvn)=ucdotv

Exercícios de Livros Relacionados