Quais das seguintes sucessões convergem, quais divergem para infty ou -infty, quais divergem sem limite infinito?
(2 n-13 n)^n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = (2n-13n)^n
e pede para identificar se ela converge, diverge para +infty ou para -infty, ou diverge sem ter limite infinito. O conteúdo principal aqui é o cálculo de limite de sequência envolvendo potência e uso do limite clássico
limntoinftyl(1+xnr)^n=e^x,

Passo 2

Vamos manipular o termo geral para evidenciar essa forma reconhecível. Note que
2n-13n = 23-13n = 23l(1-12nr),
pois tfrac23(1-tfrac12n)=tfrac23-tfrac13n. Logo
an =l(tfrac23r)^n l(1-tfrac12nr)^n

Passo 3

Agora separamos em dois fatores cuja convergência conhecemos:
  1. l(tfrac23r)^n é uma progressão geométrica com razão tfrac23<1, logo
limntoinftyl(tfrac23r)^n=0
  1. Pelo limite clássico com x=-tfrac12, temos
limntoinftyl(1-tfrac12nr)^n =e^-tfrac12

Passo 4

Como o produto de limites existe e vale
limntoinftyan =0cdot e^-tfrac12 =0,
concluímos que a sequência converge, com limite 0.

Resposta

A sequência ((2n-1)/(3n))^n converge e seu limite é 0.

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