Quais das seguintes sucessões convergem, quais divergem para
ou
, quais divergem sem limite infinito?
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede para identificar se ela converge, diverge para
ou para
, ou diverge sem ter limite infinito. O conteúdo principal aqui é o cálculo de limite de sequência envolvendo potência e uso do limite clássico
Passo 2
Vamos manipular o termo geral para evidenciar essa forma reconhecível. Note que
pois
. Logo
Passo 3
Agora separamos em dois fatores cuja convergência conhecemos:
-
é uma progressão geométrica com razão , logo
- Pelo limite clássico com
, temos
Passo 4
Como o produto de limites existe e vale
concluímos que a sequência converge, com limite
.
Resposta
A sequência
converge e seu limite é
.