+11.
Mostre que
, onde
e
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
e pede que mostremos que
.
O conteúdo usado será: estudo de monotonicidade e de limite de uma sequência recursiva, aplicando o Teorema da Convergência de Sequências Monótonas (se uma sequência é monótona e limitada, então converge) e, depois, cálculo do limite via equação de ponto-fixo.
O conteúdo usado será: estudo de monotonicidade e de limite de uma sequência recursiva, aplicando o Teorema da Convergência de Sequências Monótonas (se uma sequência é monótona e limitada, então converge) e, depois, cálculo do limite via equação de ponto-fixo.
Passo 2
Mostramos que
é positiva, crescente e limitada acima por
.
. Base:
.
. Suponha
. Então
Logo
. Assim, por indução,
para todo
.
. Para a monotonicidade, note
Logo
, ou seja,
é crescente.
Passo 3
Como
é crescente e está limitada acima por
, pelo Teorema da Convergência de Sequências Monótonas ela converge. Seja
com
.
Passo 4
Tomando limite na relação recursiva
, obtemos