+11.
Mostre que lim n infty sn=1, onde sn+1=(1 / 2)+(1 / 2) sn ^2 e s1=1 / 4.

Passo 1

O enunciado define a sequência (sn) por
s1=tfrac14, sn+1=tfrac12+tfrac12,sn^2,
e pede que mostremos que limntoinftysn=1.
O conteúdo usado será: estudo de monotonicidade e de limite de uma sequência recursiva, aplicando o Teorema da Convergência de Sequências Monótonas (se uma sequência é monótona e limitada, então converge) e, depois, cálculo do limite via equação de ponto-fixo.

Passo 2

Mostramos que (sn) é positiva, crescente e limitada acima por 1.
1. Base: s1=tfrac14>0.
2. Suponha 0<sn<1. Então
sn+1=tfrac12+tfrac12,sn^2 >tfrac12 e sn+1 =tfrac12+tfrac12,sn^2 <tfrac12+tfrac12cdot1 =1
Logo 0<sn+1<1. Assim, por indução, 0<sn<1 para todo n.
3. Para a monotonicidade, note
sn+1-sn =l(tfrac12+tfrac12,sn^2r)-sn =tfrac12l(sn^2-2sn+1r) =tfrac12l(sn-1r)^2 >=0
Logo sn+1>= sn, ou seja, (sn) é crescente.

Passo 3

Como (sn) é crescente e está limitada acima por 1, pelo Teorema da Convergência de Sequências Monótonas ela converge. Seja
L=limntoinftysn,
com L<=1.

Passo 4

Tomando limite na relação recursiva sn+1=tfrac12+tfrac12,sn^2, obtemos
L=tfrac12+tfrac12,L^2 ;Longrightarrow; L^2-2L+1=0 ;Longrightarrow; (L-1)^2=0 ;Longrightarrow; L=1

Resposta

limntoinftysn=1.

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