7.1.2 Localize as singularidades e avalie os resíduos de cada uma das seguintes funções:
(a)
,
(b)
.
(c) Ache uma expressão de forma fechada (isto é, que não seja uma soma) para a soma das singularidades do plano finito.
(d) Usando o resultado da parte (c), qual é o resíduo em
?
Sugestão: Veja a Seção 5.9 para expressões que envolvem números de Bernoulli. Note que a Equação (5.144) não pode ser usada para investigar a singularidade em
, uma vez que essa série só é válida para
.
(a)
(b)
(c) Ache uma expressão de forma fechada (isto é, que não seja uma soma) para a soma das singularidades do plano finito.
(d) Usando o resultado da parte (c), qual é o resíduo em
Passo 1
O enunciado pede para a função
(caso (a)) e para
(caso (b))
- localizar todas as singularidades isoladas em cada caso;
- calcular o resíduo em cada singularidade;
- para
da parte (a), encontrar uma expressão em forma fechada para a soma dos resíduos nas singularidades do plano finito; - a partir disso, obter o resíduo em
.
Os conteúdos principais são expansão de Laurent (uso dos números de Bernoulli) e o teorema da soma dos resíduos (incluindo o infinito).
Passo 2
Caso (a):
– Zeros de em
– Zeros de
todos simples, e há também
onde
, logo
tem em zero um pólo de ordem
.
– Para ,
– Para
pois
.
– Em , usamos a série geradora dos números de Bernoulli,
– Em
então
O coeficiente de
ocorre em
, logo
Passo 3
Caso (b):
– Singularidades vêm de .
São polos simples porque .
– O resíduo em é
– Singularidades vêm de
São polos simples porque
– O resíduo em
pois
. Como
e
, pode-se também escrever
Passo 4
Para
, definimos
Pelo teorema “soma dos resíduos no plano estendido vale 0”, temos
Sabendo que
decai exponencialmente longe da reta imaginária (logo
), obtemos
Essa é a forma fechada (sem somatório) para a soma dos resíduos em todas as singularidades finitas de
.
Passo 5
O resíduo no infinito é
Resposta
(a) Singularidades em
, simples, com
e pólo de ordem
em
com
(b) Singularidades em
, simples, com
(c) Soma dos resíduos nas singularidades finitas de
:
(d) Resíduo em
para
: